结论是：在私人小厂工作十几年被开除，是否有赔偿取决于开除的原因和程序是否合法。 下面我将从多个角度详细分析这个问题：
一、合法解除劳动合同的情况
如果私人小厂因为您存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形而解除劳动合同，比如您严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，那么这种情况下，用人单位是不需要支付经济补偿的。但需要注意的是，用人单位必须能够提供充分的证据证明您存在这些情形，否则可能构成违法解除。
二、违法解除劳动合同的情况
如果私人小厂没有合法理由，或者解除劳动合同的程序不合法（比如未提前通知、未听取工会意见等），那么就构成了违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，您有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。
经济补偿的计算公式为： \(经济补偿 = 工作年限 \times 月工资\) 其中，工作年限是指您在用人单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
赔偿金的计算公式为： \(赔偿金 = 2 \times 经济补偿\)
因此，如果您在私人小厂工作了十几年，那么经济补偿的年限至少为十年（具体根据实际工作年限确定），赔偿金则是经济补偿的两倍。
三、特殊情况下的赔偿问题
如果用人单位未与您签订书面劳动合同：根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同的，应当向您每月支付二倍的工资。如果满一年仍未签订，则视为已经与您订立了无固定期限劳动合同。在这种情况下，如果您被开除，除了可以要求经济补偿或赔偿金外，还可以要求用人单位支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。
如果用人单位存在其他违法行为：比如未依法为您缴纳社会保险费、未及时足额支付劳动报酬等，您也有权要求用人单位承担相应的法律责任，并在被开除时要求相应的赔偿。
四、建议与行动
收集证据：无论哪种情况，您都需要收集相关证据来证明自己的权益，比如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等。
与用人单位协商：在收集到足够证据后，您可以先与用人单位进行协商，看是否能够达成和解协议。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付经济补偿或赔偿金等。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
希望以上分析能够帮助您更好地理解这个问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。