您好，针对您提出的美容机构交完钱没开正规发票是否违法的问题，我可以给您一个详细且深入的解答。
首先，从消费者权益保护的角度来看，根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，您作为消费者，在接受服务后，有权知悉服务的真实情况，包括服务的内容、规格、费用等，并且有权要求经营者提供正规的发票。美容机构作为服务的提供者，有义务向您提供详细的费用清单和正规发票，这是保障您知情权和选择权的重要一环。
其次，从税收管理的角度来看，发票是税务部门进行税收管理的重要依据。商家开具发票是其法定的义务，也是保障国家税收收入的重要手段。如果美容机构未及时向您提供发票，那么它可能涉嫌违反税收管理规定，这是需要承担法律责任的。
至于您提到的美容机构后续答应提供清单的情况，虽然这表明美容机构有补救的意愿，但并不能改变其之前未按规定及时提供发票的事实。这种行为仍然对您的权益造成了一定的侵害，因为您在消费当时并未能及时了解到服务的详细费用情况，也无法进行及时的核对和确认。
针对这种情况，我建议您采取以下行动：
再次与美容机构进行沟通，明确要求其尽快提供正规的费用清单和发票，并保留好相关的沟通记录，以备后续维权之需。
如果美容机构拒绝提供或拖延提供，您可以向当地的消费者协会、卫生行政部门或税务部门进行投诉。这些部门都有相应的职责和权力来维护您的合法权益，并可以对美容机构的违规行为进行调查和处理。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。