作为有丰富法律实务经验的律师，针对您作为新任局长遇到的这一情况，核心结论是需根据单位规章制度、干部外出性质及后果等，分情况采取不同处理措施，以下是具体分析：

若单位有明确请假制度，该干部行为违反规定

1. 核实制度规定：首先，要详细查阅单位现有的请假制度文件，明确规定中对于请假流程、审批权限、不同时长外出的处理方式等具体内容。比如，制度可能规定外出一天以上需提前向特定领导书面请假并获批，若未按规定执行则属于违规。
2. 与干部沟通：安排与该 59 岁干部进行一次正式且严肃的谈话。在谈话中，向其说明单位请假制度的重要性以及其此次未请假外出一周的行为已经违反了规定。了解其外出原因，是因突发紧急个人事务、对制度理解有误，还是其他特殊情况。
3. 依据制度处理：如果该干部没有合理的特殊理由，严格按照单位请假制度进行处理。处理方式可能包括但不限于：在单位内部进行通报批评，让其认识到自身行为的错误以及对单位管理秩序造成的不良影响；扣除相应的绩效工资或奖金，以起到经济上的警示作用；若制度有规定，还可给予警告等行政处分。

若单位请假制度不完善或不明确

1. 完善制度：借此机会，组织相关部门对单位的请假制度进行梳理和完善。明确不同情况下请假的流程、审批权限、违规处理措施等内容，确保制度的科学性、合理性和可操作性。在制度完善过程中，可以广泛征求单位员工的意见和建议，提高制度的认可度和执行力。
2. 临时处理措施：在制度完善之前，对于该干部的处理可以采取一些临时性的措施。例如，召开单位管理层会议，对该干部的行为进行讨论和分析，形成一致的处理意见。可以要求该干部作出书面检讨，说明未请假外出的原因和认识到的错误，并承诺今后严格遵守单位规定。同时，根据其外出对工作造成的影响程度，适当调整其工作安排或给予一定的口头警告。

考虑干部特殊情况

1. 身体原因：如果该干部外出是因为身体突发疾病需要就医治疗，且情况紧急来不及请假。在这种情况下，虽然其行为违反了请假规定，但应从人道主义角度出发，给予一定的理解和宽容。可以要求其提供相关的医疗证明，如医院的诊断书、病历等，以证实其外出的原因。在处理时，可以减轻或免除对其的处分，但同时要提醒其在今后遇到类似情况时，应尽可能及时向单位报告。
2. 家庭突发重大变故：若干部外出是由于家庭突发重大变故，如直系亲属突发重病、去世等，需要其回家处理相关事宜。同样，要求其提供相关的证明材料，如医院的病情通知、死亡证明等。在处理时，也应充分考虑其实际情况，给予适当的关怀和处理，可酌情减轻处分。

无论采取何种处理方式，都要确保整个过程公平、公正、公开，遵循法律法规和单位的规章制度，同时注重对干部的教育和引导，避免类似情况再次发生。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，欢迎随时向我咨询。