核心结论：针对孩子网络赌博被抓，年前拘留五天未罚款，年后通知交两万罚款的情况，需从行政处罚合法性、罚款缴纳程序、救济途径三个角度综合分析处理。

一、行政处罚的合法性审查

1. 法律依据
   根据《治安管理处罚法》第七十条，以营利为目的参与赌博赌资较大的，处五日以下拘留或五百元以下罚款；情节严重的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。

   • 若孩子参与网络赌博的赌资较大（需结合当地标准判断），公安机关可单独适用拘留或并处罚款。
     
   • 年前仅拘留未罚款，年后追加罚款需符合“情节严重”或存在新证据（如赌资数额认定变化）。

2. 程序合法性

   • 行政处罚需遵循“一事不再罚”原则，即对同一违法行为不得重复处罚。若年前已作出拘留决定，年后追加罚款需证明存在新事实或原处罚决定存在遗漏。
     
   • 公安机关应在作出处罚决定前告知当事人权利，并出具书面处罚决定书。若未履行告知程序，处罚可能因程序违法被撤销。

二、罚款缴纳程序与注意事项

1. 缴纳期限与方式

   • 罚款需在收到处罚决定书后15日内缴纳，逾期可能产生滞纳金（每日3%，最高不超过罚款本金）。
     
   • 缴纳方式通常为指定银行账户或通过“交管12123”等平台线上支付，需保留缴费凭证。

2. 异议处理

   • 若对罚款金额或程序有异议，可先缴纳罚款并申请行政复议（60日内）或提起行政诉讼（6个月内），后续可申请退还罚款。
     
   • 拒绝缴纳可能导致公安机关申请法院强制执行，影响个人征信。

三、救济途径与建议

1. 申请行政复议

   • 向作出处罚决定的公安机关的上级机关（如市公安局）或同级政府提出复议申请，需提交书面复议申请书、处罚决定书及证据材料。
     
   • 复议机关应在60日内作出决定，若维持原处罚，可进一步提起行政诉讼。

2. 提起行政诉讼

   • 直接向法院起诉，需在知道处罚决定之日起6个月内提交起诉状、证据材料。
     
   • 法院将审查处罚的合法性，若认定程序违法或证据不足，可能撤销或变更处罚。

3. 证据收集与辩护策略

   • 收集孩子参与赌博的赌资记录、聊天记录等证据，证明是否存在“情节严重”情形。
     
   • 若孩子系初犯或赌资较小，可主张从轻处罚或免除罚款。

四、风险提示

1. 刑事风险
   若网络赌博涉及组织、开设赌场或赌资巨大，可能构成《刑法》第三百零三条规定的赌博罪或开设赌场罪，需立即委托律师介入。

2. 信用影响
   行政处罚记录可能影响孩子未来就业、参军等，建议尽快处理以减少负面影响。

行动建议：

1. 立即要求公安机关出具书面处罚决定书，明确罚款依据和事实理由；
   
2. 委托律师审查处罚合法性，制定复议或诉讼策略；
   
3. 若决定缴纳罚款，保留凭证并同步准备救济材料。
   

如有进一步证据或细节需要分析，可直接向我提供具体材料以便深入解答。