结论：劳务派遣受伤后，劳动仲裁申请劳务派遣公司和用工单位一起承担责任，从法律程序上来说并不复杂，但具体操作和结果会受到多种因素的影响。
法律背景与解释：
劳务派遣关系中的责任主体：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位是劳动者的用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括签订劳动合同、支付劳动报酬、提供劳动保护等。
- 用工单位则是实际使用劳动者的单位，应当执行国家劳动标准，提供相应的劳动条件和劳动保护。
- 在劳务派遣期间，劳动者因工作原因受到事故伤害的，劳务派遣单位与用工单位应当承担连带赔偿责任。这意味着，劳动者可以选择向其中一方或双方同时主张赔偿。
劳动仲裁的流程与要点：
- 劳动者在受伤后，应首先确保自己的伤情得到妥善治疗，并保留好相关的医疗证据。
- 接着，劳动者可以与劳务派遣公司和用工单位进行协商，尝试达成赔偿协议。
- 如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求劳务派遣公司和用工单位共同承担赔偿责任。
- 在劳动仲裁过程中，劳动者需要提供充分的证据来证明自己的受伤与工作有关，以及劳务派遣公司和用工单位存在过错或未履行相应义务。
申请劳务派遣公司和用工单位一起承担责任的复杂性：
- 从法律程序上来说，申请劳务派遣公司和用工单位一起承担责任并不复杂，只需在劳动仲裁申请书中明确列出两方为被申请人，并阐述要求他们共同承担责任的理由和依据。
- 然而，在实际操作中，可能会遇到一些挑战，如两方之间的责任划分问题、证据收集难度等。这可能需要劳动者在申请前进行充分的准备和调查，以确保自己的权益得到充分保障。
法律建议：
- 及时收集证据：劳动者在受伤后应尽快收集与事故相关的证据，包括医疗记录、现场照片、证人证言等。这些证据将在后续的协商和劳动仲裁中起到关键作用。
- 咨询专业律师：虽然我在这里提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议劳动者在申请劳动仲裁前咨询专业律师，以获取更具体、更个性化的法律建议。
- 保持冷静与理性：在处理此类纠纷时，劳动者应保持冷静与理性，避免情绪化的行为或言论。通过合法途径维护自己的权益是最有效、最安全的方式。
可能的法律后果：
- 如果劳动仲裁委员会认定劳务派遣公司和用工单位存在过错或未履行相应义务，他们可能会被要求共同承担赔偿责任，包括医疗费用、误工费、伤残赔偿金等。
- 如果劳务派遣公司和用工单位对劳动仲裁结果不服，他们还可以向法院提起诉讼。但在此之前，他们需要仔细评估诉讼的风险和成本，以及可能面临的法律后果。
总之，劳务派遣受伤后申请劳动仲裁要求劳务派遣公司和用工单位一起承担责任并不复杂，但需要劳动者做好充分的准备和调查工作。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。