在发生工伤时，若劳务派遣工希望申请劳务派遣单位和用工单位承担连带责任，主要基于以下几种情况：

1. 劳务派遣单位未依法履行义务：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行对劳动者的义务，包括签订劳动合同、支付劳动报酬、提供劳动保护等。若劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，导致劳动者在发生工伤时无法享受工伤保险待遇，根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。
   • 具体情形：例如，劳务派遣单位未按时足额缴纳工伤保险费，导致工伤职工无法获得应有的医疗费用、伤残津贴等工伤保险待遇，此时工伤职工可以要求劳务派遣单位和用工单位共同承担赔偿责任。

2. 用工单位存在过错：

   • 用工单位作为实际使用劳动者的单位，若因工作场所、工作环境或工作安排等方面存在过错，导致劳动者发生工伤，且该过错与工伤的发生有直接因果关系，用工单位应承担相应的赔偿责任。在劳务派遣关系中，若用工单位的过错行为同时违反了与劳务派遣单位的约定或相关法律法规，劳务派遣单位也可能需承担连带责任。
   • 具体情形：例如，用工单位未提供必要的安全防护措施，导致劳动者在作业过程中受伤，此时用工单位应承担赔偿责任。若劳务派遣单位在派遣过程中未对用工单位的安全条件进行审查或未提醒劳动者注意安全，劳务派遣单位也可能需承担连带责任。

3. 劳务派遣协议中的约定：

   • 劳务派遣单位与用工单位之间签订的劳务派遣协议中，若明确约定了双方在工伤事故中的责任分担方式，且该约定不违反法律法规的强制性规定，双方应按照协议约定承担责任。但需注意，若协议约定免除一方对劳动者的法定责任，该约定无效，劳动者仍有权要求双方承担连带责任。
   • 具体情形：例如，劳务派遣协议中约定，若发生工伤事故，由用工单位承担全部赔偿责任。但若该事故是由于劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费导致的，该约定无效，劳务派遣单位仍需与用工单位承担连带责任。

法律建议：

• 及时收集证据：发生工伤后，劳动者应及时收集相关证据，包括劳动合同、劳务派遣协议、工伤认定书、医疗费用单据等，以证明工伤事实及责任主体。
• 协商与调解：在证据充分的情况下，劳动者可以先尝试与劳务派遣单位和用工单位进行协商或调解，寻求双方共同承担赔偿责任。
• 申请劳动仲裁或提起诉讼：若协商或调解无果，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求劳务派遣单位和用工单位承担连带责任。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

可能后果：

• 若劳务派遣单位和用工单位被认定需承担连带责任，双方需共同向劳动者支付工伤保险待遇及相关赔偿费用。若一方无力支付或拒绝支付，另一方需承担全部支付责任，之后再向无力支付或拒绝支付的一方追偿。

如有进一步疑问或需要具体法律帮助，请直接向我咨询。