结论：在休病假遇到第二次劳动合同到期时，您确实有权要求公司续签无固定期限劳动合同，但具体能否实现还需根据您的实际情况和法律规定来判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
二、病假期间的劳动合同续签
病假不影响劳动合同续签权利：病假是劳动者因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，用人单位应给予的医疗期。在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且劳动者享有相应的病假工资和医疗待遇。因此，病假本身并不影响您要求续签无固定期限劳动合同的权利。
满足续签条件：若您在病假期间，且已经连续订立了二次固定期限劳动合同，同时没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反用人单位的规章制度等）和第四十条第一项、第二项（如劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的等）规定的情形，那么您有权要求用人单位续签无固定期限劳动合同。
三、实际操作中的注意事项
及时沟通：在劳动合同到期前，建议您及时与用人单位沟通，表达您希望续签无固定期限劳动合同的意愿。这有助于避免因沟通不畅而导致的误解或纠纷。
保留证据：为了证明您满足续签无固定期限劳动合同的条件，建议您保留好相关的证据，如劳动合同、工资单、病假证明等。这些证据在后续可能发生的劳动争议中将起到关键作用。
了解用人单位态度：虽然法律赋予了您续签无固定期限劳动合同的权利，但用人单位的态度也是决定能否续签的重要因素。如果用人单位拒绝续签，您可以考虑通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的权益。
四、可能面临的法律后果
如果用人单位在您满足续签条件的情况下拒绝续签无固定期限劳动合同，那么根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位可能需要支付您经济补偿金。经济补偿金的计算方式通常是根据您在用人单位的工作年限和月工资来确定的。
建议：在休病假遇到第二次劳动合同到期时，您应首先了解自己的权利和义务，及时与用人单位沟通并表达续签意愿。如果遇到用人单位拒绝续签的情况，您可以考虑咨询专业律师（即我本人，刘超律师，专注于经济纠纷、婚姻家庭、劳动纠纷、交通事故领域）或通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的权益。