您好，关于家属提取已故存款人存款所需材料的问题，这确实是一个涉及法律和金融流程的重要事项。以下是我为您详细梳理的解答：
首先，根据最新的金融政策，为了便利群众办理存款继承，已故存款人小额存款简化提取的账户限额已经由最低1万元统一提高至5万元。这意味着，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。
对于需要提交材料的情况，主要包括以下几类：
证明已故存款人死亡事实的材料：这通常是死亡证明或者火化证明等官方文件，用于确认存款人已经去世。
提取申请人的有效身份证件：这是为了确认提取人的身份，确保提取操作的合法性。
提取申请人亲笔签名的承诺书：承诺书通常需要说明提取人与已故存款人的关系，以及提取存款的用途等，以确保提取行为的正当性。
证明亲属关系的材料：这可以是居民户口簿、结婚证、出生证明等，用于证明提取申请人与已故存款人之间的亲属关系。如果已故存款人生前有留下公证遗嘱，指定提取申请人为继承人或受遗赠人，那么这份公证遗嘱也可以作为证明材料。
此外，还有一些特殊情况需要注意：
如果已故存款人的账户中汇入了丧葬费、抚恤金，这些资金不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。但申请人需要通过适当方式表明账户中资金属于丧葬费、抚恤金，银行会通过核查交易信息和资金来源、申请人签署承诺书等方式确认资金性质。
如果存款的继承权存在纠纷，或者账户余额超过5万元，那么可能需要通过公证处公证或者法院诉讼来解决。在这种情况下，合法继承人需要持本人身份证、户口本，并提供直系亲属关系证明等材料，到公证处申请办理公证，或者诉请人民法院判处后，取得法院生效裁判文书，再到银行将已故亲人的存款取出。
最后，我想强调的是：
银行在办理此类业务时，会加强和改进金融服务，如果提取申请人提交的有关材料不齐全或不符合要求，银行会一次性告知申请人相关要求，以便申请人及时补充和完善材料。
继承人在办理提取已故存款人存款业务时，应当秉持诚信原则，确保提供的材料真实有效，以维护金融秩序和自身合法权益。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或者需要进一步的帮助，请随时告诉我。