结论：在双方没有合同的情况下，是否可以将退出合伙的一方的手机号从牌匾上移除，这主要取决于你们之间的实际约定、行业惯例以及相关法律法规的规定，但通常情况下，如果退出方同意或没有提出异议，你是可以将其手机号从牌匾上移除的。以下是从不同角度的详细分析：
一、实际约定与行业惯例
实际约定：
- 如果你们在合伙期间或退出时有过明确的约定，比如退出方同意将其个人信息（包括手机号）从牌匾等公开宣传材料中移除，那么你当然可以按照约定执行。
- 如果没有明确的约定，但退出方在退出时表示了同意或没有提出异议，你也可以视为其默认同意，从而进行移除。
行业惯例：
- 在某些行业，当合伙人退出时，将其个人信息从公开宣传材料中移除是一种常见的做法。如果你们所处的行业有这样的惯例，你也可以参考这一做法。
二、相关法律法规
个人信息保护：
- 根据《中华人民共和国个人信息保护法》等相关法律法规，个人有权保护自己的个人信息不被未经授权的使用或公开。如果退出方要求移除其手机号，这是其合法权益，你应当尊重并执行。
- 即使没有明确的法律法规要求，从尊重个人隐私和权益的角度出发，你也应当考虑退出方的合理要求。
合伙关系终止后的义务：
- 合伙关系终止后，各方应当履行必要的清算和交接义务。如果移除手机号是清算和交接的一部分，或者退出方有合理要求，你应当配合完成。
三、实际操作建议
与退出方沟通：
- 在移除手机号之前，最好与退出方进行沟通，确认其是否同意或有无异议。这可以避免后续的纠纷和误解。
更新牌匾信息：
- 如果退出方同意或没有提出异议，你可以及时更新牌匾信息，移除其手机号。同时，确保牌匾上的其他信息准确无误，以维护公司的形象和信誉。
保留证据：
- 在进行任何操作之前，最好保留相关的证据，比如沟通记录、同意书等。这可以在后续出现纠纷时作为证明你行为的合理性和合法性的依据。
四、可能的风险与后果
如果未经同意移除：
- 如果未经退出方同意就擅自移除其手机号，可能会引发纠纷和投诉。退出方可能会认为你侵犯了其个人信息权益或违反了之前的约定，从而要求你承担相应的法律责任。
如果未及时移除：
- 如果退出方要求移除其手机号但你未及时执行，也可能会引发纠纷。退出方可能会认为你未履行必要的义务或尊重其合法权益，从而对你产生不满或采取法律行动。
最后建议：在处理这类问题时，最好保持与退出方的良好沟通，尊重其合法权益和合理要求，以避免不必要的纠纷和损失。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，你可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。