结论前置：私自辞退员工，员工确实可以去劳动局（现在一般称为劳动人事争议仲裁委员会或人力资源和社会保障局下属的劳动监察部门）进行投诉或申请仲裁，以维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 私自辞退的违法性：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须遵循法定程序和条件。私自辞退员工，即未经法定程序或未满足法定条件而单方面解除劳动合同，是违法的。

2. 员工的维权途径：

   • 投诉至劳动监察部门：员工可以向当地的人力资源和社会保障局下属的劳动监察部门投诉，该部门会依法对用人单位的违法行为进行调查处理，并可能责令用人单位改正违法行为，如恢复劳动关系、支付赔偿金等。
   • 申请劳动仲裁：员工也可以向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位承担违法解除劳动合同的法律责任，如支付经济补偿金、赔偿金等。仲裁裁决具有法律效力，如果用人单位不履行，员工还可以向法院申请强制执行。

3. 可能获得的赔偿或补偿：

   • 如果用人单位违法解除劳动合同，员工有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常是按照员工在用人单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 除了赔偿金外，员工还可能要求用人单位支付未支付的工资、加班费、未休年休假工资等。

4. 实际操作建议：

   • 收集证据：员工在维权前应尽可能收集与用人单位存在劳动关系、用人单位违法解除劳动合同等相关证据，如劳动合同、工资条、辞退通知、工作记录等。
   • 咨询专业律师：虽然我可以为你提供法律咨询，但在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同。因此，在维权前咨询专业律师，了解具体的维权策略和可能面临的法律风险，是非常有必要的。
   • 及时行动：劳动争议有时效限制，员工应在知道或应当知道自己的权益被侵害之日起一年内申请仲裁或提起诉讼，以免错过维权时机。

后续行动建议：如果你或你身边的人遇到了私自辞退的情况，不要慌张，及时收集证据，并向我咨询具体的维权策略。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。