当劳动监察立案后公司不执行相关处理决定时，您作为劳动者，可以采取以下一系列措施来维护自己的合法权益。
一、明确公司行为的违法性
首先，要明确公司不执行劳动监察部门的处理决定是违法的。根据《劳动保障监察条例》及相关法律法规，公司必须履行劳动监察部门依法作出的行政处罚决定或处理指令。如逾期不履行，将承担一系列法律责任。
二、申请强制执行
行政机关申请：劳动监察部门在确认公司未履行处罚决定后，有权向有管辖权的人民法院申请强制执行。这是劳动监察部门依法行使职权的一种方式，旨在确保处罚决定得到有效执行。
劳动者申请：若处罚决定直接涉及您的权益，如支付工资、经济补偿等，您可以在劳动仲裁或诉讼胜诉后，向人民法院申请强制执行公司的财产。这需要您提供相关的仲裁裁决或法院判决书作为执行依据。
三、了解并应对可能的法律后果
加处罚款：根据《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定，公司逾期不履行行政处罚决定的，劳动监察部门可每日按罚款数额的百分之三加处罚款，但加处罚款的数额不得超过原罚款数额。这是对公司不履行处罚决定的一种经济制裁。
刑事责任：如公司行为构成拒不执行判决、裁定罪，可能面临刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，情节严重的，可处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
信用惩戒与舆论监督：公司拒不履行处罚决定的行为将被记录在企业信用档案中，影响其信用评级和在市场活动中的表现。同时，您或劳动监察部门可通过合法途径公开公司违法行为，借助舆论压力促使其履行义务。
四、通过劳动仲裁或诉讼维护权益
劳动仲裁：若公司拒不履行涉及您自身权益的处罚决定，您可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁过程中，您可将劳动监察的处罚决定作为重要证据提交。仲裁委员会将依法进行调解和裁决，若对裁决结果不满意，您可在规定时间内向人民法院提起诉讼。
诉讼：若劳动仲裁未能解决问题，或公司拒不履行仲裁裁决，您可向法院提起诉讼。法院将审理案件并作出判决。若公司仍不履行判决，您可申请法院强制执行。
五、持续跟进与监督
在采取上述措施的同时，您还应持续跟进公司的执行情况，并与劳动监察部门保持沟通。如发现公司有转移财产等行为，应及时向相关部门报告，以便及时采取措施防止损失扩大。
六、企业应对建议（供您参考了解公司可能的态度）
企业在收到劳动监察部门的处罚决定后，应首先确认处罚的合法性，并在规定期限内及时履行，以避免不必要的法律后果。如认为处罚决定存在错误或不合法，可依法申请行政复议或提起行政诉讼，但在复议或诉讼期间，一般不停止执行，除非有特别规定或法院裁定。
综上所述，当劳动监察立案后公司不执行相关处理决定时，您有多种途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，请保留好相关证据，并积极配合相关部门的调查和执行工作。