结论概述：在此情境中，动手方可能面临行政处罚或刑事处罚，具体取决于被打方的伤势情况；被打方用石头连续还手的行为，同样可能面临行政处罚或刑事处罚，也需根据动手方的伤势来判定。以下是对双方可能面临的处罚的详细分析：

一、动手方可能面临的处罚

1. 行政处罚：

   • 如果动手方的行为构成违反治安管理，但尚未构成犯罪，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，动手方可能面临五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，可能面临五日以下拘留或者五百元以下罚款。

2. 刑事处罚：

   • 如果动手方的行为导致被打方受到轻伤及以上伤害，那么动手方的行为可能构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

二、被打方可能面临的处罚

1. 正当防卫的认定：

   • 被打方在遭受动手方攻击时，有权进行正当防卫。然而，正当防卫的限度是不得超过必要限度造成重大损害。如果被打方用石头连续还手的行为超出了正当防卫的限度，那么其行为可能不再被视为正当防卫。

2. 行政处罚：

   • 如果被打方的还手行为被认定为超出正当防卫限度，但尚未构成犯罪，那么被打方可能面临与动手方相似的行政处罚，即五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，可能面临五日以下拘留或者五百元以下罚款。

3. 刑事处罚：

   • 如果被打方的还手行为导致动手方受到轻伤及以上伤害，并且该行为被认定为超出正当防卫限度，那么被打方的行为可能构成故意伤害罪，同样面临《中华人民共和国刑法》中规定的相应刑事处罚。

三、特殊情况考虑

• 互殴与正当防卫的区分：在判断双方行为时，需明确区分互殴与正当防卫。互殴通常指双方均具有伤害对方的故意，并主动实施攻击行为。而正当防卫则是在遭受不法侵害时，为保护自己或他人的人身、财产等权益而采取的防卫行为。
• 伤势鉴定的重要性：在判断双方行为是否构成犯罪以及犯罪的严重程度时，伤势鉴定是关键因素。因此，在发生此类事件后，应及时报警并寻求医疗救助，以便进行伤势鉴定并作为后续法律处理的依据。

建议：在处理此类事件时，建议双方保持冷静并尽快报警。警方将根据现场情况、证人证言以及伤势鉴定等证据来判定双方的责任，并依法进行处理。同时，双方也应积极配合警方的调查工作，以便尽快查明事实真相并维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。