派出所一般会根据具体情况，以调解为主，若涉及违法犯罪行为则会依法处理。以下从不同角度为你详细分析：

从一般纠纷处理角度

1. 调解处理：夫妻之间因为第三者问题吵架，进而导致老公喝农药抢救住院，这本质上属于家庭内部矛盾引发的纠纷。派出所接到报案后，通常会先了解事情的来龙去脉，组织夫妻双方以及可能涉及的第三者进行调解。在调解过程中，民警会倾听各方的诉求和意见，依据公序良俗和道德规范，对各方进行劝说和教育，促使大家冷静下来，理性解决问题，尽量化解矛盾，避免矛盾进一步激化。比如，民警可能会劝导老公要珍惜生命，通过合理合法的方式解决婚姻问题；也会对夫妻双方在婚姻中的不当行为进行批评指正，引导他们反思自己的行为对家庭造成的伤害。
2. 提供帮助和协调：鉴于老公已经喝农药抢救住院，情况比较危急，派出所民警会积极协调医院等相关部门，确保老公能够得到及时有效的治疗。同时，如果夫妻双方在处理此事过程中存在困难，比如经济上的困难或者需要其他方面的协助，民警也会在职责范围内提供一定的帮助和协调。

从涉及违法犯罪行为角度

1. 若第三者存在过错行为可能构成违法：如果第三者明知对方有配偶，还与其以夫妻名义同居生活，那么第三者的行为可能构成重婚罪。在这种情况下，派出所会依法立案侦查，收集相关证据，如证人证言、聊天记录、照片等，以确定第三者是否构成犯罪。一旦证据确凿，会将案件移送检察机关审查起诉，追究第三者的刑事责任。
2. 若存在家庭暴力等行为：在夫妻吵架过程中，如果一方对另一方实施了家庭暴力行为，导致老公喝农药等严重后果，派出所会根据《中华人民共和国治安管理处罚法》或者《中华人民共和国刑法》的相关规定进行处理。如果家庭暴力行为情节较轻，尚未构成犯罪的，派出所会对加害人进行批评教育或者出具告诫书，同时可以根据受害人的请求，将其安置到临时庇护场所等；如果家庭暴力行为构成犯罪的，派出所会依法立案侦查，追究加害人的刑事责任。

建议：在这种情况下，夫妻双方以及家属都要保持冷静，积极配合派出所的调查和处理工作。同时，也要关注老公的身体恢复情况，给予他足够的关心和支持。如果后续在处理婚姻关系、财产分割等方面存在法律问题，可以直接向我咨询。