结论是：妈妈长期打15岁的女孩，亲子关系虽然受到了严重损害，但通过一定的努力和正确的方法，仍然是有可能改善的。以下是从不同角度进行的分析和建议：
法律角度
家庭暴力与法律责任：
- 妈妈长期打女孩的行为，如果构成家庭暴力，是违反法律规定的。根据《中华人民共和国反家庭暴力法》的相关规定，家庭暴力是指家庭成员之间以殴打、捆绑、残害、限制人身自由以及经常性谩骂、恐吓等方式实施的身体、精神等侵害行为。
- 如果妈妈的行为被认定为家庭暴力，她可能会面临法律责任，包括但不限于警告、罚款、拘留等行政处罚，甚至可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
保护未成年人的权益：
- 女孩作为未成年人，享有特殊的法律保护。如果她的权益受到侵害，可以向相关部门（如公安机关、妇联、儿童保护机构等）寻求帮助。
- 这些机构可以提供法律援助、心理疏导、临时庇护等服务，帮助女孩维护自己的权益，并促进亲子关系的改善。
心理与社会角度
心理创伤与修复：
- 长期遭受家庭暴力会对女孩的心理造成严重的创伤，可能导致她出现自卑、抑郁、焦虑等心理问题。
- 心理修复需要时间和专业的帮助。建议女孩寻求心理咨询师的帮助，通过心理咨询、心理治疗等方式来缓解心理创伤，重建自信。
社会支持与资源：
- 女孩可以寻求学校、社区、社会组织等提供的支持和资源。这些机构可以提供教育辅导、社交活动、兴趣小组等，帮助女孩拓宽视野，增强社交能力，从而减轻家庭暴力带来的负面影响。
- 同时，这些机构也可以作为女孩与妈妈之间沟通的桥梁，促进双方的理解和和解。
亲子关系改善的具体方法
沟通与理解：
- 妈妈需要认识到自己的行为对女孩造成的伤害，并愿意改变自己的行为方式。双方可以通过坦诚的沟通来增进理解，妈妈可以表达自己的关爱和期望，女孩也可以表达自己的感受和需求。
- 在沟通过程中，双方需要保持冷静和理性，避免情绪化的争吵和冲突。
寻求专业帮助：
- 如果双方无法自行解决问题，可以寻求专业心理咨询师或家庭治疗师的帮助。他们可以提供专业的指导和建议，帮助双方建立健康的沟通模式和亲子关系。
- 专业帮助不仅可以解决当前的问题，还可以为未来的亲子关系打下良好的基础。
建立积极的家庭氛围：
- 妈妈可以通过参与女孩的兴趣爱好、共同参加活动等方式来增进与女孩的感情。这些活动可以增强双方的互动和了解，促进亲子关系的和谐发展。
- 同时，妈妈也需要给予女孩足够的自由和空间，尊重她的个性和选择，让她感受到被尊重和被关爱。
最后，我想强调的是，改善亲子关系需要时间和耐心。妈妈和女孩都需要付出努力，通过沟通、理解和支持来共同解决问题。如果在这个过程中遇到任何困难或疑问，都可以直接向我咨询，我会尽我所能提供帮助。