关于刑事不予立案复议机关和时限的问题，结论如下：
复议机关：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，当公安机关对刑事案件作出不予立案决定时，控告人如果不服，可以向作出不予立案决定的公安机关申请复议。这是第一级的复议机关。
- 如果控告人对复议决定仍然不服，还可以向上一级公安机关申请复核。这是第二级的复议机关，即上一级公安机关。
复议时限：
- 申请复议的时限：控告人应当在收到不予立案通知书后七日内向作出决定的公安机关申请复议。这是法律规定的申请复议的基本时限。
- 公安机关作出复议决定的时限：公安机关在收到复议申请后，应当在三十日内作出复议决定，并将复议决定书送达控告人。这是公安机关处理复议申请并作出决定的时间限制。
- 申请复核的时限：如果控告人对复议决定不服，可以在收到复议决定书后七日内向上一级公安机关申请复核。这是申请复核的基本时限。
- 上一级公安机关作出复核决定的时限：上一级公安机关在收到复核申请后，应当在三十日内作出复核决定。对不予立案的复核申请，上一级公安机关可以通知原公安机关予以纠正，也可以直接作出决定予以纠正。
法律背景与建议：
- 法律背景：刑事不予立案复议制度是为了保障控告人的合法权益，确保公安机关的立案决定公正、合理。当控告人认为公安机关的不予立案决定有误时，可以通过复议和复核程序来寻求救济。
- 建议：
- 如果您作为控告人收到了不予立案通知书，并且认为该决定有误，请务必在规定的时限内（七日内）向作出决定的公安机关申请复议。
- 在申请复议时，请提供充分的证据和理由来支持您的观点，以便公安机关能够更全面地了解案情并作出公正的决定。
- 如果复议决定仍然不能满足您的需求，您可以在收到复议决定书后七日内向上一级公安机关申请复核。
- 在整个复议和复核过程中，请保持与公安机关的沟通，及时了解案件进展情况，并根据需要提供进一步的证据和材料。
可能遇到的法律后果：
- 如果控告人未在规定的时限内申请复议或复核，可能会丧失进一步救济的机会。
- 如果公安机关在复议或复核过程中发现原不予立案决定有误，将会予以纠正，并可能重新立案侦查。
- 如果控告人对复议或复核决定仍然不服，虽然法律没有规定进一步的救济途径，但控告人可以通过其他合法方式表达诉求，如向相关部门反映情况或寻求法律援助等。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您在刑事不予立案复议过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。