核心结论
在劳务派遣关系中，当员工合同到期不续签时，责任主要取决于不续签的决定是由劳务派遣单位（用人单位）还是用工单位做出。实际日常管理虽由用工单位负责，但合同关系的主体是劳务派遣单位和劳动者。以下是具体分析：
详细分析
一、劳务派遣单位（用人单位）不续签
经济补偿责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条，除非劳务派遣单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则合同期满终止时，劳务派遣单位应向劳动者支付经济补偿。
- 补偿标准：按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计；不满六个月支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
办理离职手续：
- 劳务派遣单位应提前通知劳动者，并在合同解除或终止后十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续，同时出具解除或终止劳动合同的证明。
二、用工单位不续签（实际日常管理方）
合法退回：
- 用工单位与劳务派遣工不存在直接的劳动关系，不能直接决定不续签劳动合同。但用工单位可以在劳动合同期满等法定情形下，将劳动者退回劳务派遣单位，此时无需支付经济补偿（经济补偿由劳务派遣单位依法支付）。
违法退回的责任：
- 若用工单位违反法律规定退回劳动者，如未遵循法定程序或理由不充分，将面临劳动行政部门的责令改正和罚款，以及与劳务派遣单位承担连带赔偿责任的风险。
员工安排：
- 劳务派遣单位可将退回的员工派遣至其他用工单位工作，或在无工作期间按最低工资标准支付报酬。
三、劳动者不续签
无需支付经济补偿：
- 当劳务派遣单位维持或提高劳动合同约定条件续订时，劳动者不同意续签的，劳务派遣单位无需支付经济补偿。
需要支付经济补偿：
- 若劳务派遣单位降低劳动合同约定条件导致劳动者不愿续签，则劳务派遣单位应向劳动者支付经济补偿。
实务操作建议
对于劳务派遣单位：
- 在合同到期前，应与劳动者和用工单位充分沟通，明确续签意向和条件。
- 若决定不续签，应依法支付经济补偿，并办理离职手续，避免法律风险。
对于用工单位：
- 若需继续使用劳务派遣工，应与劳务派遣单位协商，重新派遣并签订相关协议。
- 若不再需要，应依法将劳务派遣工退回劳务派遣单位，并确保退回程序合法合规。
对于劳动者：
- 应了解自己的权益和义务，对不续签事宜有疑问或异议时，及时与劳务派遣单位沟通。
- 保留好沟通记录和相关证据，以便在争议解决过程中提供有力证明。
争议解决与注意事项
- 协商解决：双方应首先尝试通过协商解决因合同到期不续签产生的争议。
- 法律途径：协商不成时，劳动者可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，甚至提起诉讼以维护自身合法权益。
- 保留证据：劳动者应妥善保留劳动合同、工资条、工作记录等相关证据，以便在争议解决过程中提供有力支持。
综上所述，劳务派遣员工合同到期不续签的责任归属需根据具体情况判断。劳务派遣单位和用工单位应依法履行各自的责任和义务，劳动者也应了解自己的权益和义务，并在必要时寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。