顾客在超市购买到发苦的鸡蛋，可通过以下步骤维权：

1. 固定证据

   • 保留购物凭证：小票、发票、支付记录等能证明购买行为的材料需妥善保存。
     
   • 留存问题鸡蛋：封存剩余鸡蛋（避免食用或丢弃），可拍照/录像记录鸡蛋外观、包装及变质特征（如发黑、异味等）。
     
   • 就医记录（如有）：若食用后出现身体不适，需立即就医并保存诊断证明、医疗费票据等。

2. 与超市协商

   • 携带证据交涉：向超市客服或管理层出示购物凭证和问题鸡蛋，要求退货、换货或赔偿。
     
   • 明确诉求：根据《消费者权益保护法》第24条，可主张退货并要求退款；若因鸡蛋质量问题导致人身损害，可依据第49条要求赔偿医疗费、误工费等。

3. 向第三方投诉

   • 拨打12315：向当地市场监督管理局投诉，说明超市名称、购买时间、问题描述及诉求，监管部门将介入调查并调解。
     
   • 线上投诉平台：通过全国12315平台或当地消费者协会官网提交投诉，上传证据材料。

4. 法律途径

   • 起诉超市：若协商、投诉无果，可向法院起诉，主张超市承担违约责任（如退款）或侵权责任（如赔偿损失）。需准备起诉状、证据清单及身份证复印件等材料。
     
   • 关键点：需证明鸡蛋质量问题与超市存在因果关系（如超市未尽到进货查验义务），可申请法院委托鉴定机构对鸡蛋进行质量检测。

注意事项：

• 鸡蛋发苦可能因变质、储存不当或饲料问题导致，需通过检测明确原因，但消费者无需自行承担检测费用（可要求超市或监管部门处理）。
  
• 若超市以“顾客保存不当”为由拒赔，需举证反驳（如鸡蛋购买后未拆封、储存条件符合要求等）。
  

建议：优先通过协商或投诉解决，效率较高；若涉及人身损害或金额较大，可直接委托律师介入，提高维权成功率。