核心结论：没有书面协议时司机延期送货，可通过收集证据证明双方存在运输合同关系及司机违约事实，进而要求司机承担继续履行、赔偿损失等违约责任；若协商不成，可向法院起诉或申请仲裁（若有有效仲裁条款）。以下为具体分析：
证据收集与证明合同关系及违约事实
- 收集能证明运输合同关系的证据
- 虽然不存在书面协议，但其他形式的证据也可能证明双方存在运输合同关系。例如，双方之间的聊天记录，包括微信、短信等，其中可能涉及运输货物的种类、数量、运输时间、运输费用等关键信息；通话录音，若在通话中对运输事宜进行了明确约定，也可作为证据；证人证言，如果有了解双方运输情况的人，如货物的发货方、收货方的工作人员等，他们的证言也能辅助证明合同关系的存在。
- 法律依据：《民法典》第四百六十九条规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。所以，口头约定的运输合同也是有效的，只要能通过证据证明其存在。
- 收集证明司机延期送货的证据
- 发货单、收货单等单据，上面记录的发货时间和原本约定的收货时间可以形成对比，证明司机没有按照约定时间送货；物流跟踪信息（如果有），显示货物实际的运输轨迹和时间节点；与司机的沟通记录，司机承认延期送货的聊天记录、通话录音等。
要求司机承担违约责任的方式
- 协商解决
- 在收集好证据后，可以首先尝试与司机进行协商。向司机明确指出其延期送货的行为已经构成违约，并依据收集到的证据要求其按照约定继续履行送货义务（如果货物还未送达），或者要求其赔偿因延期送货给自己造成的损失，如货物因延期交付而产生的市场价格波动损失、收货方因未按时收到货物而要求的违约金等。
- 协商的优势在于可以快速解决问题，节省时间和成本，并且有利于维护双方的关系。但如果司机拒绝协商或者协商无法达成一致意见，就需要采取其他法律手段。
- 向法院起诉
- 如果协商不成，可以向有管辖权的法院提起诉讼。在起诉时，需要提交起诉状以及收集到的相关证据。起诉状中应明确原告（自己）、被告（司机）的基本信息、诉讼请求（如要求司机继续履行合同、赔偿损失等）、事实与理由（详细阐述运输合同的成立、司机延期送货的事实以及自己因此遭受的损失等情况）。
- 法院会根据双方提供的证据和法律规定进行审理。如果认定司机构成违约，会判决司机承担相应的违约责任。例如，判决司机继续完成送货义务，并赔偿因延期送货给原告造成的直接经济损失和合理的间接经济损失。
- 法律依据：《民法典》第五百七十七条规定，当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
- 申请仲裁（如果有有效仲裁条款）
- 如果在之前的交易过程中，双方有约定通过仲裁方式解决纠纷的仲裁条款，那么在司机延期送货发生纠纷后，可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁的程序相对灵活，而且仲裁裁决具有终局性，对双方都有约束力。
- 申请仲裁时，需要向仲裁机构提交仲裁申请书和相关证据。仲裁机构会根据仲裁规则进行审理，并作出裁决。如果司机不履行仲裁裁决，还可以向法院申请强制执行。