核心结论：孩子在学校推倒他人后对方要求私了，家长应冷静处理，优先确认孩子和对方孩子的伤情，再根据实际情况决定是否私了以及如何私了；若无法私了或私了后出现问题，需做好通过法律途径解决的准备。以下是具体分析：

一、确认伤情与责任

1. 确认双方伤情：首先要查看对方孩子以及自己孩子的身体状况，如果对方孩子受伤较重，比如有明显的伤口、骨折、头晕呕吐等可能涉及内脏损伤的情况，应立即送往医院进行检查和治疗，同时保留好相关的医疗票据。如果自己孩子也有受伤，同样要及时处理。
2. 明确责任划分：了解事情发生的具体经过，判断自己孩子推倒对方的行为是否存在过错以及过错程度。例如，是孩子之间正常的打闹不小心推倒，还是孩子故意恶意推倒；是在学校组织的活动中发生，还是在课间休息时发生等。一般来说，如果孩子是故意推倒对方，那么过错责任较大；如果是不小心，过错责任相对较小。

二、私了的处理方式

1. 协商赔偿内容：如果对方提出私了，家长要与对方家长就赔偿事项进行友好协商。赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用。例如，对方孩子因受伤需要去医院治疗产生的挂号费、检查费、药费等医疗费，如果需要家长陪同护理，产生的误工费也可以协商赔偿；带孩子去医院产生的交通费用也可以纳入赔偿范围。
2. 签订书面协议：在双方就赔偿金额和方式达成一致后，一定要签订书面的私了协议。协议中要明确写明事情的经过、双方的责任、赔偿的金额和支付方式、支付时间等内容，并由双方家长签字确认。这样可以避免日后出现反悔或纠纷，保障双方的合法权益。例如，协议可以这样写：“甲方（自己孩子家长）与乙方（对方孩子家长）就[具体日期]甲方孩子在学校推倒乙方孩子一事达成如下协议：甲方一次性赔偿乙方医疗费、护理费等共计[X]元，于[具体日期]前支付给乙方。此事一次性了结，双方不得再因此事产生任何纠纷。”

三、无法私了或私了后出现问题的情况

1. 无法私了：如果双方在赔偿金额、责任认定等方面无法达成一致意见，无法进行私了，那么可以通过学校协调解决。学校作为教育机构，有责任和义务处理学生在校期间发生的纠纷。家长可以向学校反映情况，请求学校组织双方家长进行调解。如果学校调解无果，或者对方家长拒绝调解，家长可以考虑通过法律途径解决，向法院提起民事诉讼。
2. 私了后出现问题：如果在签订私了协议并履行赔偿义务后，对方又以其他理由提出额外的赔偿要求，家长可以拒绝。如果对方纠缠不休，家长可以凭借私了协议向法院起诉，要求确认协议的有效性，并要求对方停止侵权行为。例如，对方在收到赔偿后，又声称孩子因受伤留下了后遗症，要求再次赔偿，而家长认为这与之前的事情无关或者已经在之前的赔偿中考虑到了，就可以通过法律途径解决。