结论：公司因客户投诉开除员工是否需要赔偿，取决于投诉内容是否真实、公司规章制度是否合法有效且经过民主程序制定、是否已向员工公示，以及开除行为是否符合法定解除劳动合同的情形。以下从不同角度进行分析：

一、若投诉内容不实，公司违法解除劳动合同

如果客户投诉的内容并不属实，而公司仅凭此投诉就开除员工，那么公司的行为很可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

示例：假设员工在公司工作了3年，月工资为5000元，因客户不实投诉被公司违法开除，那么公司应支付的赔偿金为：\(5000元/月 \times 3月 \times 2 = 30000元\)。

二、若投诉内容属实，但公司规章制度不合法或未公示

即使客户投诉的内容属实，如果公司的规章制度不合法（如未经过民主程序制定、内容违反法律法规等）或者未向员工公示，那么公司依据这样的规章制度开除员工也是违法的。同样，根据《劳动合同法》的规定，公司需要支付赔偿金。

法律背景：根据《劳动合同法》第四条：“用人单位应当依法建立和完善劳动规章制度，保障劳动者享有劳动权利、履行劳动义务。用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。在规章制度和重大事项决定实施过程中，工会或者职工认为不适当的，有权向用人单位提出，通过协商予以修改完善。用人单位应当将直接涉及劳动者切身利益的规章制度和重大事项决定公示，或者告知劳动者。”

三、若投诉内容属实，公司规章制度合法且已公示，但开除行为不符合法定情形

如果客户投诉的内容属实，公司的规章制度也合法且已经向员工公示，但公司开除员工的行为并不符合《劳动合同法》中规定的用人单位可以解除劳动合同的情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等），那么公司的开除行为仍然是违法的，需要支付赔偿金。

法律建议：在这种情况下，员工可以收集相关证据（如客户投诉记录、公司规章制度、开除通知等），向劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。

四、若投诉内容属实，公司规章制度合法且已公示，开除行为符合法定情形

如果客户投诉的内容属实，公司的规章制度也合法且已经向员工公示，同时公司开除员工的行为符合《劳动合同法》中规定的用人单位可以解除劳动合同的情形，那么公司的开除行为是合法的，无需支付赔偿金。但需要注意的是，即使在这种情况下，公司也需要确保开除程序的合法性，如提前通知员工、听取员工申辩等。

进一步思考：对于员工而言，如果面临被公司开除的情况，首先应当了解公司的规章制度以及开除行为是否符合法定情形。如果认为公司的开除行为违法或不合理，可以及时收集证据并申请劳动仲裁以维护自己的合法权益。同时，员工在平时的工作中也应当遵守公司的规章制度和法律法规，避免给自己带来不必要的麻烦。

总结：公司因客户投诉开除员工是否需要赔偿，取决于多种因素。如果员工认为公司的开除行为违法或不合理，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供专业的法律建议。