在处理因员工过错而开除员工并涉及赔偿的问题时，我们需要根据具体情况和相关法律法规来详细分析。以下是对此问题的清晰、详细且深入的解答：
一、无需赔偿的情况
当员工存在以下严重过错，且公司能证明解除程序的合法性时，公司无需支付经济补偿：
严重违反公司规章制度：如员工多次擅自离岗、旷工，或严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害。公司需有明确的规章制度，且该制度已通过民主程序制定并向员工公示，同时能提供充分证据证明员工的过错行为。
被依法追究刑事责任：员工因犯罪行为被司法机关依法追究刑事责任，公司可以依据法律法规解除劳动合同，无需支付补偿。
二、需要支付经济补偿的情况
若员工犯错但未达到上述严重程度，或公司解除劳动合同的程序存在瑕疵，公司可能需要支付经济补偿。经济补偿的标准根据员工在本单位的工作年限来确定：
工作年限与补偿标准：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资是指劳动合同解除前十二个月的平均工资。
适用情形：包括员工患病或非因工负伤后不能从事原工作或另行安排的工作；员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任；劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。
三、需要支付赔偿金的情况
如果公司无法证明员工的过错达到可以解除劳动合同的程度，或解除劳动合同的程序不符合法律规定，那么公司的解除行为可能被认定为违法解除劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
四、其他补偿与特殊情况
应得工资及福利：公司在解除劳动合同之日起应一次性支付员工应得的工资及未享受的福利待遇。
额外损失赔偿：如果员工因公司无故开除而遭受其他损失，如寻找新工作产生的合理费用，公司也应予以赔偿。
工伤医疗补助金和伤残就业补助金：若员工在医疗期满后，经鉴定丧失或部分丧失劳动能力，公司除支付经济补偿外，还应依照国家有关工伤保险的规定支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
五、员工维权途径
员工在遇到公司开除的情况时，应首先判断公司解除劳动合同是否合法。如果认为公司违法解除，可先与公司协商赔偿事宜；协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
总结与建议
公司在开除犯错员工时，应谨慎行事，确保遵守相关法律法规，避免不必要的法律风险和经济损失。具体来说，公司应：
同时，员工也应了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。