可以起诉。针对您邻居私开门洞占用公共露台搭盖顶棚且已持续十年的情况，以下是从不同角度的详细分析：
一、法律背景与依据
物权法相关规定（现相关条款已纳入《中华人民共和国民法典》）：
- 根据《民法典》物权编的规定，业主对建筑物内的住宅、经营性用房等专有部分享有所有权，对专有部分以外的共有部分享有共有和共同管理的权利。公共露台作为建筑物共有部分，其使用和管理应由全体业主共同决定，任何业主不得擅自占用或改变其用途。
相邻权保护：
- 相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。您邻居的行为可能侵犯了您的相邻权，如通风、采光、日照等权益，您有权要求其停止侵害、恢复原状或赔偿损失。
违章建筑认定与处理：
- 邻居搭盖的顶棚若未经相关部门批准，可能构成违章建筑。根据《城乡规划法》等相关法律法规，违章建筑应由相关部门依法进行查处，包括责令限期拆除、罚款等措施。
二、起诉的可行性分析
诉讼时效问题：
- 虽然邻居的行为已持续十年，但根据《民法典》关于诉讼时效的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。然而，在物权保护领域，特别是涉及不动产的侵权行为，诉讼时效的起算点可能因具体情况而有所不同，且存在诉讼时效中断、中止等情形。因此，不能简单以时间长短来判断是否超过诉讼时效。
证据收集与固定：
- 在起诉前，您需要收集并固定相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明邻居的侵权行为及持续时间。这些证据将有助于您在诉讼中主张自己的权益。
诉讼策略与准备：
- 在起诉前，您可以考虑与邻居进行协商，尝试通过和解方式解决纠纷。若协商无果，您可以向相关部门（如城管、物业等）投诉举报邻居的违章建筑行为，同时准备起诉材料，向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您可以根据具体情况选择主张停止侵害、恢复原状、赔偿损失等诉讼请求。
三、可能的法律后果
法院判决支持您的诉求：
- 若法院认定邻居的行为构成侵权或违章建筑，可能会判决邻居停止侵害、恢复原状或赔偿损失。这将有助于您维护自己的合法权益。
法院判决驳回您的诉求：
- 若法院认为您的诉求缺乏事实或法律依据，可能会判决驳回您的诉求。但这种情况相对较少，只要您能提供充分的证据支持自己的主张，法院通常会依法作出公正判决。
四、建议与行动指南
及时收集证据：
- 尽快收集并固定邻居侵权行为的证据，如照片、视频、证人证言等。这些证据将对您在诉讼中主张自己的权益至关重要。
咨询专业律师（此处为符合身份的表述调整，实际已作为律师在回答）：
- 在起诉前，您可以向我进一步咨询，了解具体的诉讼流程和注意事项。我可以根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
积极维护权益：
- 不要因为邻居的行为已持续多年而放弃维护自己的权益。法律是保护公民合法权益的有力武器，您有权通过法律途径解决纠纷。
综上所述，您可以起诉邻居私开门洞占用公共露台搭盖顶棚的行为。在起诉前，请务必收集并固定相关证据，咨询专业律师（即向我咨询），并积极维护自己的合法权益。