面对公司随意开除员工的情况，赔偿问题确实是一个关键点。首先，我们需要明确的是，公司开除员工的赔偿情况主要取决于解除劳动合同的合法性和具体原因。
一、判断开除是否合法
公司若无法定理由，如员工严重违反规章制度、严重失职等《劳动合同法》第三十九条规定的情形，而随意解除与员工的劳动合同，那么这种开除就是违法的。在这种情况下，员工有权获得经济赔偿金。
二、赔偿标准
违法解除劳动合同的赔偿：
- 如果公司违法解除劳动合同，那么它需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式是：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，这个平均工资包括了各种奖金、津贴等货币性收入。
- 需要注意的是，如果员工的月工资高于当地上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿金的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
合法解除但员工无过错时的经济补偿：
- 如果公司合法解除劳动合同，但员工无过错，如员工患病或非因工负伤，在规定医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，或者员工不能胜任工作经过培训或调整岗位仍不能胜任，那么公司需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式与违法解除时的经济补偿相同，即按工作年限支付相应月数的工资。
三、其他可能的补偿
- 除了上述的经济补偿或赔偿金外，公司还需要支付员工应得的工资及未享受的福利待遇。
- 如果员工因公司无故开除而遭受其他损失，如寻找新工作产生的合理费用，公司也应予以赔偿。
- 如果员工在医疗期满后，经鉴定丧失或部分丧失劳动能力，公司除支付经济补偿外，还应依照国家有关工伤保险的规定支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
四、维权途径
- 如果员工认为公司违法解除了劳动合同，首先可以尝试与公司协商，要求其支付赔偿金。
- 如果协商不成，员工可以向当地劳动监察部门投诉，由其调查处理并责令公司支付赔偿金。
- 员工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资条、工作证等）以证明劳动关系及公司违法解除的事实。仲裁裁决具有法律效力。
- 如果对仲裁结果不满意，员工还可以在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的权益。
综上所述，面对公司随意开除员工的情况，员工应了解自己的合法权益，并根据工作年限和月工资水平计算应得的赔偿金。同时，员工也应保留好相关证据，并通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。