结论前置：公司未支付加班费，劳动者不能直接要求双倍经济补偿金，但在特定情形下，可以依法请求加付赔偿金。赔偿金的支付需依据具体法律规定和实际情况，且通常涉及劳动行政部门的责令支付程序。

一、经济补偿金与赔偿金的基本区别

1. 经济补偿金：是用人单位在解除或终止劳动合同时，根据法律规定一次性支付给劳动者的经济补助，旨在补偿劳动者因合同解除或终止而遭受的经济损失。例如，公司裁员时，根据劳动者的工作年限和工资水平，支付一定数额的经济补偿金。

2. 赔偿金：则是用人单位因违法解除或终止劳动合同，或未按期支付经济补偿金等违法行为，依法应向劳动者支付的额外补偿，具有惩罚性质。比如，公司未支付加班费，经劳动行政部门责令支付后仍不支付，此时劳动者可以要求公司加付赔偿金。

二、可以请求加付赔偿金的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十五条的规定，用人单位有下列情形之一的，由劳动行政部门责令限期支付劳动报酬、加班费或者经济补偿；逾期不支付的，责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金：

1. 未按照劳动合同的约定或者国家规定及时足额支付劳动者劳动报酬的；
2. 低于当地最低工资标准支付劳动者工资的；
3. 安排加班不支付加班费的；
4. 解除或者终止劳动合同，未依照本法规定向劳动者支付经济补偿的。

实际案例：假设某公司经常安排员工加班，但从未支付过加班费。员工向劳动行政部门投诉后，劳动行政部门责令公司限期支付加班费。然而，公司并未在限期内支付。此时，员工可以要求公司按应付加班费金额的百分之五十至百分之一百的标准加付赔偿金。

三、不可以请求加付赔偿金的情形

1. 不符合法定支付经济补偿金的条件：如劳动者因个人原因主动辞职，且用人单位无过错，则无需支付经济补偿金，自然也不存在加付赔偿金的问题。
2. 未经过法定前置程序：劳动者必须先向劳动行政部门投诉，并由其责令用人单位限期支付。若未经此程序，直接向法院起诉要求加付赔偿金，通常不会得到支持。

四、维权建议

1. 合法途径维权：劳动者在遇到公司未支付加班费的情况时，应首先通过劳动行政部门进行投诉，要求其责令公司支付加班费及可能的加付赔偿金。
2. 保留证据：在维权过程中，劳动者应保留好相关证据，如加班记录、工资条、劳动合同等，以便在需要时提供证明。
3. 及时咨询：如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。

综上所述，劳动者在请求加付赔偿金时应明确区分经济补偿金与赔偿金的概念，了解法律规定的具体情形和前置程序，并依法维护自身权益。