结论：房东不退押金且不签合同的行为，可能涉及违法，具体取决于押金性质、租赁合同实际情况及相关法律规定。以下从多个角度进行分析：
一、押金性质与合同关系
押金作为担保：
- 押金通常作为租赁合同的担保，确保租客履行合同义务，如按时支付租金、保持房屋完好等。
- 若租客已履行合同义务，房东无正当理由不退还押金，可能构成违约或不当得利。
未签订书面合同：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。
- 即使未签订书面合同，双方仍存在事实上的租赁关系，房东仍需遵守相关法律规定，包括退还押金。
二、房东不退押金的法律后果
违约责任：
- 若租赁合同中明确约定了押金退还的条件和期限，房东未按约定退还，构成违约，租客有权要求房东承担违约责任，包括退还押金及可能产生的利息或违约金。
不当得利：
- 若租赁合同未明确约定押金退还事项，但租客已履行合同义务，房东无正当理由不退还押金，可能构成不当得利。租客有权要求房东返还不当得利，即退还押金。
行政处罚或刑事责任（极端情况）：
- 在一般情况下，房东不退押金主要涉及民事纠纷。但在某些极端情况下，如房东采取非法手段扣留押金（如盗窃、抢劫等），则可能涉及行政处罚或刑事责任。不过，这种情况较为罕见，且与押金退还的民事纠纷性质不同。
三、租客的维权途径
协商：
- 租客可以首先尝试与房东协商，要求退还押金。在协商过程中，租客可以明确表达自己的诉求和理由，并尝试达成和解。
投诉：
- 若协商无果，租客可以向当地房地产管理部门或消费者协会投诉，寻求帮助和支持。这些机构可能会介入调解，促使房东退还押金。
诉讼：
- 若投诉仍无法解决问题，租客可以向人民法院提起诉讼，要求房东退还押金及可能产生的利息或违约金。在诉讼过程中，租客需要提供相关证据（如租赁合同、押金收据、履行合同义务的证明等）来支持自己的诉求。
四、特殊情况下的处理
租客违约：
- 若租客在租赁期间存在违约行为（如未按时支付租金、损坏房屋等），房东有权根据合同约定扣除相应押金作为赔偿。但房东需提供充分证据证明租客的违约行为及损失金额。
合同无效或解除：
- 若租赁合同因某种原因无效或被解除（如房屋存在严重安全隐患、房东未履行维修义务等），房东需根据合同约定及实际情况退还押金。若合同未明确约定，则需根据法律规定及公平原则进行处理。
建议：作为租客，在签订租赁合同时应仔细阅读合同条款，特别是关于押金退还的部分。在租赁期间，应妥善保管相关证据（如租赁合同、押金收据、支付租金的凭证等），以便在需要时维护自己的合法权益。若遇到房东不退押金的情况，可以按照上述途径进行维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。