结论：婆婆生病儿媳不管是否可以起诉，需根据具体情况判断，主要看儿媳是否负有法定赡养义务以及是否构成遗弃等违法行为。以下从不同角度进行分析：
一、儿媳是否负有法定赡养义务
一般情况下儿媳无法定赡养义务：
- 根据我国法律规定，赡养义务主要发生在具有血缘关系的亲属之间，如子女对父母、孙子女对祖父母等。儿媳与婆婆之间，并不具有直接的血缘关系，因此儿媳在一般情况下并不负有法定的赡养义务。
特殊情况下儿媳可能负有赡养义务：
- 如果儿媳与婆婆之间形成了事实上的扶养关系，例如婆婆长期与儿媳共同生活，且儿媳对婆婆进行了实际的照顾和扶养，那么在这种情况下，儿媳可能被视为负有赡养义务。但这种情况需要具体证据来支持，如共同生活的证明、扶养行为的证明等。
二、儿媳不管婆婆是否构成遗弃等违法行为
遗弃行为的认定：
- 遗弃是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。如果儿媳在婆婆生病需要照顾时，拒绝履行扶养义务，且情节恶劣（如长期不闻不问、导致婆婆病情加重等），那么儿媳的行为可能构成遗弃。
起诉的可能性：
- 如果儿媳的行为构成遗弃，那么婆婆或其近亲属（如子女）可以向法院提起诉讼，要求儿媳履行扶养义务或承担相应的法律责任。但需要注意的是，起诉前需要收集充分的证据来证明儿媳的行为构成遗弃，如医疗记录、证人证言等。
三、其他可能的法律途径
协商调解：
- 在起诉之前，可以尝试通过协商调解的方式解决纠纷。例如，可以邀请家族长辈、社区工作人员或律师等第三方进行调解，促使儿媳认识到自己的责任并履行扶养义务。
寻求社会救助：
- 如果婆婆确实无人照顾且生活困难，可以向当地的社会救助机构申请救助。社会救助机构会根据婆婆的实际情况提供相应的帮助和支持。
四、建议与注意事项
收集证据：
- 如果决定起诉儿媳，需要提前收集充分的证据来证明儿媳的行为构成遗弃或未履行扶养义务。证据可以包括医疗记录、证人证言、照片或视频等。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议和指导，帮助制定合适的诉讼策略。不过，在这里你可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。
注重家庭和谐：
- 在处理家庭纠纷时，应注重家庭和谐和亲情关系。尽量通过协商调解的方式解决纠纷，避免激化矛盾导致家庭关系破裂。
总结：婆婆生病儿媳不管是否可以起诉，需根据具体情况判断。如果儿媳负有法定赡养义务且拒绝履行扶养义务构成遗弃等违法行为，那么婆婆或其近亲属可以向法院提起诉讼。在处理此类纠纷时，建议收集充分证据、咨询专业律师并注重家庭和谐。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。