要证明老人自愿将存款给予他人，在老人已经去世的情况下，确实会面临一些挑战，因为直接证据（如老人的口头或书面声明）可能无法再获取。不过，你可以通过以下途径来尝试证明这一点，同时结合银行存款继承的相关规定来处理：
一、收集间接证据
遗嘱或遗赠扶养协议：
- 如果老人在生前立有遗嘱，并且遗嘱中明确提到了将存款给予特定的人，那么这份遗嘱就是非常重要的证据。
- 遗嘱应当符合法律规定的形式要件，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日等。
- 如果存在遗赠扶养协议，即老人与扶养人之间订立的、由扶养人承担老人生养死葬的义务、并于老人死后享有受遗赠的权利的协议，这也是证明老人意愿的重要文件。
证人证言：
- 寻找了解老人意愿的证人，如老人的亲友、邻居或社区工作人员等，他们可能听到过老人表达将存款给予他人的意愿。
- 证人证言应当详细、具体，并尽可能提供证人的联系方式以便核实。
其他书面材料：
- 查找老人是否留下过其他书面材料，如信件、日记或便条等，其中可能提到将存款给予他人的意愿。
二、遵循银行存款继承规定
查询存款余额：
- 根据《中国银保监会办公厅 司法部办公厅关于简化查询已故存款人存款相关事项的通知》，已故存款人的配偶、父母、子女或公证遗嘱指定的继承人、受遗赠人，可以凭相关证明材料向存款所在银行业金融机构提交书面申请，查询存款余额。
提取存款：
- 如果存款金额较小（根据最新规定，同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币），继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。但需提交能够证明已故存款人死亡事实的材料、提取申请人的有效身份证件、提取申请人亲笔签名的承诺书以及能够证明亲属关系的材料或公证遗嘱。
- 如果存款金额较大，或者继承人之间对存款分配存在争议，可能需要通过公证或诉讼等方式来解决。
处理特殊情况：
- 如果存款中包含丧葬费、抚恤金等特殊款项，根据相关规定，这些款项不计入提取限额，可以全额简化提取。
三、法律途径
- 如果通过上述途径仍无法证明老人的意愿，或者继承人之间对存款分配存在严重争议，可以考虑通过法律途径来解决。这可能包括向法院提起继承诉讼，由法院根据相关证据和法律规定来判决存款的分配。
四、建议
- 尽早处理：在老人去世后，应尽早处理其存款等遗产问题，以免因时间拖延而导致证据丢失或继承人之间产生不必要的纠纷。
- 保留证据：在处理过程中，应妥善保留所有相关证据和文件，以备不时之需。
- 咨询专业人士：如果对相关法律程序或规定不熟悉，建议咨询律师或公证员等专业人士的意见和帮助。