结论：私人垫付资金后能否开具增值税专用发票（专票），需根据具体交易性质和主体资格判断，存在两种主要情形：
若交易主体具备开具专票的法定资格（如企业、个体工商户等），且垫付行为属于正常业务往来
根据《增值税暂行条例》及发票管理办法，销售方在发生应税销售行为时，应向购买方开具专票（购买方为一般纳税人且索取专票时）。此时：
- 若私人垫付资金是代为支付货款（如员工代公司付款后报销），销售方应直接向实际购买方（公司）开具专票，垫付人需通过报销流程取得发票复印件或凭证，不可直接以个人名义要求开具专票（因个人非增值税应税行为主体）。
- 若私人垫付资金是因交易需要临时周转（如个人借款给企业用于采购），销售方仍应向购买方（企业）开具专票，垫付人可通过借款合同、资金流水等证明资金性质，但专票抬头必须为购买方，垫付人无法直接取得专票用于抵扣。
若交易主体为个人且无开具专票资格，或交易本身不属于增值税应税范围
- 个人发生应税销售行为（如销售货物、提供劳务）时，通常只能开具增值税普通发票，无法开具专票（除非个人办理了临时税务登记或委托税务机关代开，但代开专票有严格限制，如仅限销售其取得的不动产或出租不动产等特定情形）。
- 若交易属于非增值税应税项目（如个人之间的借款利息、赠与等），则无需开具发票，更不存在专票问题。
关键风险提示：
- 专票的开具必须基于真实的交易关系，且买卖双方主体资格合法。若通过私人垫付虚构交易、虚开发票（如为他人虚开、为自己虚开），可能涉嫌《刑法》第二百零五条规定的虚开增值税专用发票罪，最高可处无期徒刑并处罚金。
- 若企业要求个人垫付资金后以个人名义开具专票，可能涉及“三流不一致”（资金流、货物流、发票流），存在税务合规风险，税务机关可能质疑交易真实性并要求补税、罚款。
建议操作：
- 若为企业采购垫付：保留合同、付款凭证、报销单等证据，确保专票抬头为企业名称，通过正规报销流程处理。
- 若为个人垫付：提前与销售方沟通交易主体资格，若需专票，建议以企业名义签订合同并支付款项；若无法取得专票，可要求开具普票或协商其他补偿方式（如价格优惠）。
如有具体交易场景或合同条款需要分析，可进一步提供细节，我将结合法律条文和实务经验为您详细解答。