申请行政检察监督的法律依据主要包括以下几个方面：

1. 《中华人民共和国行政诉讼法》

   • 直接依据：该法第九条明确规定，“人民检察院在行政诉讼中履行法律监督职责。”这是检察院对行政诉讼案件进行监督的直接法律依据，确立了检察院在行政诉讼中的法律监督地位。
   • 具体监督方式：第九十三条进一步细化了监督方式，包括抗诉和检察建议。具体来说，最高人民检察院对各级人民法院、上级人民检察院对下级人民法院的生效判决、裁定，如果发现符合法定情形或者调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉；地方各级人民检察院对同级人民法院的生效判决、裁定，如果发现类似问题，可以向同级人民法院提出检察建议，并报上级人民检察院备案，或者提请上级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。

2. 《人民检察院行政诉讼监督规则》

   • 监督范围：该规则全面规定了检察院对行政诉讼活动的监督范围，不仅涵盖生效的行政判决、裁定、调解书，还包括审判程序中审判人员的违法行为，以及行政执行活动等方面。这意味着检察院的监督是全方位的，贯穿于行政诉讼的全过程。
   • 监督程序：详细规定了受理、审查、调查核实及作出监督决定的程序，确保监督活动依法有序进行。例如，检察院可以通过调阅诉讼卷宗、询问当事人等方式进行调查核实，以获取充分的证据来支持其监督决定。

3. 《中华人民共和国人民检察院组织法》

   • 权力来源：该法第二十一条明确了人民检察院的职权，其中包括“对诉讼活动实行法律监督”。这一规定从组织法层面确立了检察院对行政诉讼监督的权力来源，强调了检察院作为国家法律监督机关的地位，为检察院履行行政诉讼监督职责提供了根本性的法律保障。

从实践意义的角度来看，检察院对行政诉讼案件的监督不仅具有法律依据，而且具有重要的实践价值。通过监督，可以维护法律的统一和尊严，确保行政诉讼活动严格遵守法律规定；可以保障行政诉讼的公正性和合法性，防止和纠正违法行为；还可以保护当事人的合法权益，及时发现并纠正损害当事人合法权益的行为，为当事人提供有效的法律救济途径。

如果您有申请行政检察监督的具体需求或疑问，比如如何准备申请材料、如何选择合适的监督方式等，都可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律建议和指导。