执业兽医师备案的诊疗机构在城市，但私下下乡出诊是否合法，需分情况讨论：

1. 若执业兽医师具备合法执业资格且出诊行为符合相关规定：

   • 执业兽医师需持有有效的执业兽医资格证书，并在备案的诊疗机构执业。若其私下下乡出诊，但并未违反《中华人民共和国动物防疫法》及《执业兽医管理办法》中关于执业兽医执业活动的相关规定，如未超出执业范围、未进行非法诊疗活动等，且出诊行为得到了相关部门的许可或备案（尽管实际操作中可能较少有此类单独备案），则该行为在法律上可能不被视为违法。但需注意，私下出诊可能涉及诊疗机构的管理规定及税务等问题，需确保合规。

2. 若执业兽医师私下下乡出诊违反相关规定：

   • 根据《执业兽医管理办法》的相关规定，执业兽医应当在备案的诊疗机构执业，或者按照所在地省、自治区、直辖市人民政府兽医主管部门的要求，参加预防、控制和扑灭动物疫病的活动。若执业兽医师未经备案或未经许可，私下下乡进行诊疗活动，可能构成非法行医，将面临行政处罚，如警告、罚款等。情节严重的，还可能被吊销执业兽医资格证书。

3. 关于诊疗机构备案与出诊地点的关系：

   • 诊疗机构的备案地点通常指的是其主要的执业场所。执业兽医师的出诊行为，无论是在城市还是乡村，都应与其备案的诊疗机构相关联，并遵守相关规定。若出诊行为超出了备案诊疗机构的执业范围或未经相关部门许可，则可能构成违规。

法律建议：

• 对于执业兽医师而言，应严格遵守相关法律法规，确保在备案的诊疗机构内执业，或按照相关规定参加预防、控制和扑灭动物疫病的活动。若需下乡出诊，应事先了解并遵守当地的相关规定，确保出诊行为的合法性。
• 对于诊疗机构而言，应加强对执业兽医师的管理，确保其执业行为符合法律法规要求，避免因执业兽医师的违规行为而承担连带责任。

可能后果：

• 若执业兽医师私下下乡出诊构成非法行医，将面临行政处罚，如警告、罚款、吊销执业兽医资格证书等。同时，还可能因违规行为而承担民事赔偿责任，如因诊疗不当导致动物死亡或主人损失等。

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