结论：在公司工作13年后患上胃癌，公司不能随意开除你，且在此期间你享有一定的待遇。以下从多个角度为你详细分析：
一、公司不能随意开除你
法律依据：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在你因胃癌接受治疗期间，公司不能随意开除你。
医疗期规定：
- 医疗期的具体长度根据你在公司的工作年限和病情严重程度来确定。一般来说，工作年限越长，医疗期也相应越长。对于在公司工作13年的你，医疗期可能会相对较长，具体需根据当地劳动部门的规定和你的实际病情来确定。
违法解除的后果：
- 如果公司违反规定，在你医疗期内开除你，那么公司可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，违法解除劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
二、患病期间的待遇
医疗期待遇：
- 在医疗期内，公司应当按照规定支付你病假工资或者疾病救济费。病假工资或者疾病救济费可以低于当地最低工资标准支付，但不能低于最低工资标准的80%。
医疗保险待遇：
- 如果你参加了公司的医疗保险计划，那么在患病期间，你可以享受相应的医疗保险待遇，包括医疗费用的报销等。
其他福利待遇：
- 除了上述待遇外，你还可能享有公司规定的其他福利待遇，如带薪休假、节日福利等。具体需根据公司的规章制度和劳动合同来确定。
三、建议与注意事项
保留证据：
- 在患病期间，建议你保留好相关的医疗证明、病假条等证据，以便在需要时证明你的病情和医疗期。
与公司沟通：
- 建议你及时与公司沟通，了解公司对于患病员工的政策和待遇，以及你的具体医疗期和病假工资等事宜。
寻求法律援助：
- 如果公司在你患病期间存在违法行为，如违法解除劳动合同、不支付病假工资等，你可以寻求法律援助，维护自己的合法权益。
总结：在公司工作13年后患上胃癌，你享有法律规定的医疗期和相应的待遇。公司不能随意开除你，否则可能构成违法解除劳动合同。在患病期间，建议你保留好相关证据，与公司沟通了解具体政策和待遇，并在必要时寻求法律援助。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。