公司未与兼职员工签订合同，主要可能面临以下处罚或不利后果：
劳动行政部门的处罚：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于兼职员工，尽管他们可能不是全日制工作。如果公司未与兼职员工签订书面合同，且用工时间超过一个月，那么公司可能需要支付双倍工资作为赔偿。
- 此外，劳动行政部门还有权对公司进行监察，并可能根据具体情况对公司进行警告、责令改正或罚款等行政处罚。
劳动者可能主张的权利：
- 兼职员工有权要求公司签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。如果公司拒绝签订，兼职员工可以向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资或采取其他补救措施。
- 在未签订书面合同的情况下，如果发生劳动争议，如工资支付、工作时间、休息休假等，兼职员工可能因缺乏书面证据而面临举证困难。然而，这并不意味着他们无法维护自己的权益，他们仍然可以通过其他证据（如工作记录、同事证言等）来证明自己的主张。
对公司声誉和管理的潜在影响：
- 未与兼职员工签订合同可能损害公司的声誉，影响公司在劳动力市场的形象。这可能导致公司在招聘和留住优秀人才方面遇到困难。
- 从管理角度来看，未签订书面合同可能导致公司在处理劳动争议时处于被动地位，增加管理成本和风险。
建议：
- 及时签订书面合同：公司应尽快与兼职员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免潜在的法律风险和纠纷。
- 完善用工管理制度：公司应建立健全的用工管理制度，包括兼职员工的招聘、管理、考核和离职等环节，确保用工行为的合法性和规范性。
- 加强法律意识和风险防范：公司应加强对劳动法律法规的学习和了解，提高法律意识和风险防范能力，确保用工行为的合法性和合规性。
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