结论：母亲十年前因开设赌场罪被判八个月缓刑，一般情况下，儿子可以考公，但具体是否受影响需结合报考岗位的具体要求及母亲当前是否仍存在其他违法犯罪记录等因素综合判断。

分析说明：

1. 缓刑的性质与影响：

   • 缓刑是一种刑罚执行方式，它并不改变原判刑罚的有罪性质，只是暂缓执行原判刑罚。在缓刑考验期内，如果没有违反相关规定，原判刑罚就不再执行。
   • 母亲被判八个月缓刑，意味着她曾因犯罪被定罪，但并未实际执行监禁刑罚（在缓刑考验期内未违反规定的情况下）。然而，这一犯罪记录仍然存在，并可能对子女在某些特定情况下的资格审查产生影响。

2. 考公的资格审查：

   • 考公（即报考公务员）通常需要进行严格的资格审查，包括政治审查（政审）。政审的内容通常包括考察报考者的政治立场、道德品质、遵纪守法情况等方面。
   • 在政审过程中，报考者的直系亲属（如父母）的违法犯罪记录可能会成为考察的参考因素之一。但具体是否受影响，以及影响的程度，会因报考岗位的性质、要求以及政审的具体标准而有所不同。

3. 时间因素与当前状况：

   • 母亲犯罪的时间已经过去十年，且当时被判的是缓刑。如果母亲在缓刑考验期后没有再次违法犯罪，且当前表现良好，那么这一犯罪记录对儿子考公的影响可能会相对较小。
   • 然而，如果母亲当前仍存在其他违法犯罪记录，或者报考岗位对政审有特别严格的要求（如涉及国家安全、机要等岗位），那么儿子的考公资格可能会受到更大影响。

特殊场景：

• 如果儿子报考的是对政审要求极为严格的岗位（如公安机关、国家安全机关等），那么母亲的犯罪记录可能会成为重要的考察因素，甚至可能导致儿子无法通过政审。
• 如果儿子报考的是对政审要求相对宽松的岗位（如一些普通行政岗位），且母亲在缓刑考验期后表现良好，没有再次违法犯罪，那么儿子的考公资格可能不会受到太大影响。

建议与行动：

• 如果儿子有考公的打算，建议提前了解报考岗位的具体要求及政审标准，以便做好充分准备。
• 如果母亲当前仍存在违法犯罪记录或其他不良记录，建议尽快咨询专业律师，了解如何消除或减轻这些记录对儿子考公的影响。
• 在考公过程中，如果遇到政审方面的疑问或困难，可以及时向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。