对于公安机关移送的犯罪事实，检察机关决定不起诉的，并非在所有情况下均需要直接回应公安机关，但通常会通过一定的程序或文书来通知公安机关不起诉的决定，并说明理由。具体可以从以下几个方面来分析：

1. 法定通知义务：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，当人民检察院作出不起诉决定时，它应当将不起诉决定书送达公安机关。这一规定确保了公安机关能够及时了解检察机关的处理结果，从而进行后续的案件处理工作，如解除强制措施、释放被不起诉人等。因此，从法律层面讲，检察机关有义务通知公安机关不起诉的决定。

2. 通知的内容与形式：

   • 不起诉决定书是检察机关通知公安机关的主要法律文书。它详细说明了不起诉的理由和依据，为公安机关提供了明确的法律指引。公安机关在收到不起诉决定书后，应当根据决定书的内容进行相应的处理，如撤销案件、解除查封、扣押、冻结的财物等。

3. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如检察机关认为不起诉决定可能引发社会争议或需要进一步协调时，可能会与公安机关进行更深入的沟通和协商。这种情况下，检察机关可能会通过口头或书面的形式向公安机关解释不起诉的决定，并听取公安机关的意见和建议。然而，这并不改变检察机关有义务通知公安机关不起诉决定的基本事实。

4. 实务操作中的注意事项：

   • 在实务操作中，检察机关和公安机关应当保持良好的沟通和协作，确保不起诉决定的顺利执行。公安机关在收到不起诉决定书后，应当及时审查决定书的内容，并按照法律规定进行后续处理。如果公安机关对不起诉决定有异议，可以通过法定程序提出复议或申诉。

给你的建议：

• 如果你作为案件的相关方（如被不起诉人、被害人或其家属等），对检察机关的不起诉决定有疑问或不满，你可以向检察机关提出申诉或咨询专业律师以获取更详细的法律解释和帮助。
• 如果你作为公安机关的工作人员，在收到检察机关的不起诉决定书后，应当认真审查决定书的内容，并按照法律规定进行后续处理。如果对决定有异议，可以通过法定程序提出复议或申诉，以维护法律的公正和权威。

总之，检察机关在作出不起诉决定后，有义务通知公安机关并说明理由。这是确保法律程序公正、透明和有效执行的重要环节。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。