结论：在一般情况下，若离婚时放弃抚养费且孩子已快18岁，现在起诉要求支付抚养费可能面临一定困难，但在特定情况下，如孩子尚在校接受高中及其以下学历教育或因身体原因等非主观因素无法维持正常生活时，仍有可能通过法律途径追索抚养费，但通常不支持追索利息。以下是对此问题的详细分析：

一、一般情况下的抚养费支付规定

1. 法律规定：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十三条，抚养费的给付期限一般至子女十八周岁为止。这是因为年满十八周岁的公民被视为成年人，具有完全民事行为能力，应通过自己的劳动取得收入并独立生活。

2. 司法实践：

   • 在司法实践中，法院普遍遵循这一原则。对于已经年满18周岁且没有特殊情况的子女要求父母支付抚养费的诉讼请求，法院一般不会予以支持。

二、特殊情况下的抚养费支付规定

1. 尚在校接受高中及其以下学历教育：

   • 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十一条，尚在校接受高中及其以下学历教育的成年子女，可以认定为“不能独立生活的成年子女”。因此，即使子女已年满18岁，若仍在接受上述教育，仍有权要求父母支付抚养费。
   • 实例说明：如孩子18岁且正在上高三，父母离婚时未按照协议支付抚养费，孩子有权起诉要求父母支付其在高中学习期间的生活和教育费用。

2. 丧失、部分丧失劳动能力等非因主观原因而无法维持正常生活：

   • 法律依据：同样依据《最高人民法院关于适用〈民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第四十一条，因疾病、残疾等原因导致丧失或部分丧失劳动能力，无法维持正常生活的成年子女，也有权要求父母继续支付抚养费。
   • 实例说明：如孩子18岁但因严重疾病导致身体残疾，丧失了部分劳动能力，无法正常工作和生活，而父母此前未支付足够的抚养费，孩子可以向法院起诉要求父母支付必要的抚养费以支持其治疗和生活。

三、关于利息的追索

• 法律分析：在抚养费纠纷中，通常关注的是抚养费的支付与否及支付金额，而利息并非抚养费纠纷的常规诉求。抚养费的主要目的是保障未成年子女或不能独立生活的成年子女的基本生活和教育需求，而非作为一种投资或借贷关系，因此一般不支持追索利息。

四、诉讼时效问题

• 法律分析：对于年满18周岁后追索未成年期间拖欠的抚养费，是否适用诉讼时效存在不同观点。但司法实践中一般采用三年诉讼时效的规定，即成年子女向未尽抚养义务的父或母主张未成年期间的抚养费的，应在年满21周岁之前提出。

五、法律建议

1. 收集证据：

   • 在决定提起诉讼前，建议收集相关证据，包括但不限于父母的收入证明、孩子的支出记录、学校证明（如果还在上学）、医疗诊断证明（如果存在身体原因等特殊情况）等，以证明抚养费的必要性和合理性。

2. 咨询与起诉：

   • 如有进一步疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供针对性的解决方案和法律指导，包括起草起诉状、准备证据材料、参与庭审等。

综上所述，虽然一般情况下离婚时放弃抚养费且孩子已快18岁后起诉要求支付抚养费可能面临一定困难，但在特定情况下仍有可能通过法律途径追索。如有需要，请随时向我咨询以获取更具体的法律建议和帮助。