结论：职工本来有病，在上班时死亡，是否能算因工死亡，需根据具体情况判断，主要看是否符合《工伤保险条例》中关于因工死亡的规定。

分析：

1. 因工死亡的一般认定标准：

   • 根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤（即因工死亡的一种特殊情形）。
   • 这意味着，如果职工在上班时，因自身疾病突发导致死亡，且该疾病是在工作时间和工作岗位上突然发作的，那么有可能被认定为因工死亡。

2. 原有疾病与因工死亡的关系：

   • 职工原本有病，并不直接决定其上班时死亡是否属于因工死亡。关键在于疾病是否在工作时间和工作岗位上突发，以及是否导致死亡或48小时内经抢救无效死亡。
   • 如果职工的原有疾病在上班时并未突发，而是由于其他原因（如工作劳累、情绪激动等）导致死亡，或者疾病并非在工作时间和工作岗位上突发，那么可能不被认定为因工死亡。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果职工的原有疾病与工作有直接关联，例如职业病导致的死亡，那么根据《工伤保险条例》的相关规定，应被认定为因工死亡。
   • 另外，如果职工在上班时因工作原因受到事故伤害，导致原有疾病加重并最终死亡，也可能被认定为因工死亡，但这需要具体分析事故与死亡之间的因果关系。

建议：

• 及时申报工伤：如果职工在上班时死亡，且家属认为可能符合因工死亡的条件，应尽快向用人单位报告，并由用人单位在规定时间内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
• 收集证据：家属应收集相关证据，如医疗记录、工作记录、证人证言等，以证明职工是在工作时间和工作岗位上突发疾病导致死亡的。
• 咨询专业律师：由于工伤认定涉及复杂的法律程序和证据收集，建议家属咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。

可能后果：

• 如果被认定为因工死亡，职工的家属将有权获得工伤保险基金支付的丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等赔偿。
• 如果未被认定为因工死亡，家属可能无法获得工伤保险基金的赔偿，但可以根据其他法律规定（如民事侵权责任）寻求赔偿。

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