结论：十多年的公益性岗位员工能否申请无固定期限劳动合同，需根据具体情况判断，主要取决于是否满足签订无固定期限劳动合同的法定条件。
分析：
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，有权提出订立无固定期限劳动合同。这是劳动者的一项重要权益，旨在保护长期稳定工作的劳动者的利益。
公益性岗位的特殊性：
- 公益性岗位通常是由政府或公共机构设立，旨在提供公共服务或促进社会公益的岗位。这些岗位可能具有一定的临时性、季节性或特定任务性。然而，这并不意味着公益性岗位的员工就不能享受与普通岗位员工相同的劳动合同权益。
- 如果公益性岗位的员工在用人单位连续工作满十年，且符合其他签订无固定期限劳动合同的条件（如双方协商一致、劳动者提出或同意续订等），那么他们同样有权申请签订无固定期限劳动合同。
实际操作中的考虑因素：
- 在实际操作中，是否签订无固定期限劳动合同还可能受到用人单位政策、岗位性质、资金来源等多种因素的影响。例如，如果公益性岗位的资金来源是项目制或临时性的，用人单位可能会更倾向于签订有固定期限的劳动合同。
- 但这并不改变劳动者在满足法定条件时有权申请签订无固定期限劳动合同的事实。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以通过劳动仲裁等法律途径维护自己的权益。
建议：
- 如果您在公益性岗位上连续工作满十年，且希望签订无固定期限劳动合同，建议您首先与用人单位进行协商，明确表达您的意愿和诉求。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位签订无固定期限劳动合同或给予相应的经济补偿。
- 在整个过程中，建议您保留好相关的工作证明、工资记录等证据材料，以便在需要时提供证明。
可能后果：
- 如果您满足签订无固定期限劳动合同的条件，且通过合法途径维护了自己的权益，那么您有望与用人单位签订无固定期限劳动合同，享受更稳定的工作保障。
- 如果用人单位仍然拒绝签订，且您通过劳动仲裁等法律途径获得了支持，那么用人单位可能需要承担相应的法律责任，如支付经济补偿等。
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