结论：您所描述的情况，在符合一定条件时，可能构成遗弃罪。但具体是否构成犯罪，还需根据案件的具体情况和相关证据来判断。
分析：
遗弃罪的构成要件：
- 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。
- 在您所描述的情况中，父亲被赶出家门，无家可归，没有钱吃饭，且生了重病无人照顾，这符合遗弃罪中“对于患病没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养”的情形。
情节恶劣的判断：
- 情节恶劣是遗弃罪成立的重要条件之一。它通常指的是遗弃行为造成了严重的后果，如被害人因无人照顾而死亡、重伤、精神失常等，或者遗弃手段特别恶劣，如将被害人遗弃在荒无人烟的地方等。
- 在您所描述的情况中，如果父亲因被遗弃而病情加重，甚至危及生命，或者遗弃行为导致了其他严重后果，那么可以认为情节恶劣。
扶养义务的认定：
- 扶养义务通常基于法律、道德或家庭关系而产生。在家庭关系中，子女对父母负有扶养义务，这是法律规定的义务。
- 如果子女有能力扶养而拒绝扶养，且情节恶劣，那么就可能构成遗弃罪。
可能面临的法律后果：
- 如果构成遗弃罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能会面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。
建议：
- 如果您或您身边的人遇到了类似的情况，建议立即向当地公安机关报案，并提供相关证据，如医疗记录、证人证言等，以证明遗弃行为的存在和情节的恶劣。
- 同时，也可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以了解更详细的法律信息和维权途径。
进一步思考：
- 在处理此类案件时，除了考虑法律因素外，还应关注家庭关系、道德伦理等方面的问题。遗弃行为不仅违反了法律，也违背了社会道德和家庭伦理。
- 对于被遗弃的老人，社会应给予更多的关注和帮助，如提供临时救助、安排入住养老院等，以确保他们的基本生活需求得到满足。
如果您有进一步的法律问题或需要更详细的法律咨询，请直接向我提问，我会尽我所能为您提供帮助。