结论：在此情况下，爷爷一般没有直接的法定抚养义务，但在特定条件下可能需承担抚养责任。
分析说明：
法定抚养义务的基本原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这是基于血缘关系和法律规定的直接责任。
- 在父母健在且有能力抚养的情况下，其他亲属（如祖父母、外祖父母）通常没有直接的法定抚养义务。
当前情况的具体分析：
- 孩子6岁，母亲健在，因此母亲是孩子的法定抚养人，负有直接的抚养责任。
- 父亲过世，这一事实改变了家庭结构，但并不直接导致爷爷成为法定抚养人。
- 奶奶过世，这一事实对爷爷是否承担抚养义务无直接影响。
- 关键在于母亲是否具备抚养能力。如果母亲有抚养能力，则爷爷无需承担抚养义务；如果母亲因某种原因（如疾病、残疾、经济困难等）无法抚养孩子，且没有其他合适的监护人或抚养人，那么根据法律规定和实际情况，爷爷可能需要承担抚养责任。
爷爷可能承担抚养责任的特定条件：
- 母亲确实无法抚养孩子，且没有其他合适的监护人或抚养人。
- 爷爷具备抚养孩子的经济能力和身体条件。
- 在这种情况下，爷爷可以通过法律程序（如申请成为监护人）来承担抚养责任。
行动建议：
- 如果母亲能够抚养孩子，且家庭关系和谐，那么无需特别考虑爷爷的抚养义务问题。
- 如果母亲因某种原因无法抚养孩子，建议家庭成员之间进行协商，确定合适的抚养方案。如果协商不成，可以考虑通过法律途径解决，如申请法院指定监护人或抚养人。
- 在任何情况下，都应优先考虑孩子的利益和福祉，确保孩子得到适当的抚养和教育。
后续法律程序说明：
- 如果需要爷爷承担抚养责任，通常需要通过法律程序来确认。这可能包括申请成为监护人、签订抚养协议等步骤。
- 在这些过程中，建议咨询专业律师以获取具体的法律指导和帮助，确保程序的合法性和有效性。
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