结论前置：在父亲死亡且母亲长期不履行抚养义务的情况下，爷爷奶奶通常没有法定抚养孙子的义务，但在特定条件下，如母亲也去世或丧失抚养能力，且爷爷奶奶有负担能力时，他们则具有抚养未成年孙子的法定义务。
详细分析：
一、一般情形下的抚养义务
父母的首要责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母是子女的第一顺序法定监护人，负有抚养、教育和保护的义务。因此，在父亲死亡后，如果母亲仍然健在且具有抚养能力，那么母亲是法定的抚养义务人，爷爷奶奶在法律上没有必须抚养孙子的义务。
母亲长期不履行义务的情况：
- 即便母亲长期不履行抚养义务，但只要她仍然健在且具备抚养能力（如拥有稳定收入、住房等），从法律角度讲，她仍然是孩子的法定抚养人。此时，爷爷奶奶没有法定的抚养义务，但可以从道义上给予一定的帮助和支持。
二、特殊情形下的抚养义务
母亲无法履行抚养义务：
- 如果母亲去世，或者虽然健在但因经济困难、重大疾病、丧失劳动能力等原因确实无力承担抚养责任，此时孩子的抚养问题需另行考虑。
爷爷奶奶的抚养义务：
- 在母亲无法履行抚养义务的情况下，如果爷爷奶奶本身有负担能力，即具备抚养孩子的物质基础和身体条件等，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十四条的规定，他们有抚养未成年孙子女的法定义务。这里的“负担能力”需要综合考虑爷爷奶奶的经济状况、身体条件、生活环境等多方面因素。
三、实际案例与法律建议
实际案例：
- 假设一个家庭中，父亲因意外去世，母亲长期外嫁且不与孩子联系，也不提供任何经济支持。此时，如果爷爷奶奶有稳定的退休金和住房，且身体健康，那么他们就有义务抚养孙子。但如果爷爷奶奶经济困难或身体不佳，无法承担抚养责任，那么孩子可能需要寻求其他亲属的帮助或申请社会救助。
法律建议：
- 在面对此类情况时，建议首先尝试与母亲沟通，要求其履行抚养义务。如果沟通无果，可以向当地居委会、村委会或民政部门寻求帮助，了解相关的社会救助政策。同时，也可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼，要求母亲履行抚养义务或确认爷爷奶奶的抚养义务。
四、道德与法律的结合
- 尽管在某些情况下爷爷奶奶没有法定的抚养义务，但基于亲情的道义上，他们可能会选择给予孙子一定的帮助和支持。这种行为不仅体现了家庭成员之间的互助与关爱，也是对社会正能量的传承。
五、后续行动建议
- 如果您或您的家人正面临此类情况，建议首先收集相关证据，如母亲的收入证明、健康状况证明等，以证明其无法履行抚养义务。同时，也可以收集爷爷奶奶的经济状况、身体条件等证据，以证明其是否具备抚养能力。在准备好相关证据后，可以向当地法律援助机构或律师咨询具体的法律途径和解决方案。
综上所述，父亲死亡后，爷爷奶奶的抚养义务并不是绝对的，而是取决于多种因素的综合考量。在理解和应用相关法律知识时，应确保条理清晰、逻辑严密，并结合具体情况进行灵活处理。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。