结论：母亲是否可以卖房子，取决于多个因素，包括房屋的产权归属、合同的性质以及相关法律法规的规定。以下是对这一问题的详细分析：
一、房屋产权归属
无产权房屋的性质：
- 无产权房屋通常指的是没有取得国家颁发的房屋所有权证的房屋。这类房屋可能由于历史原因、规划问题或土地性质等原因，无法办理产权证。
- 在法律上，无产权房屋的权属可能存在争议，且其交易受到严格限制。
女儿出资购买：
- 女儿出资购买了母亲单位的无产权房屋，但出资行为本身并不直接决定房屋的产权归属。
- 如果房屋仍然登记在母亲或母亲单位名下，那么从法律上讲，母亲或母亲单位仍然是房屋的产权人。
二、合同的性质
合同内容：
- 女儿与母亲或母亲单位之间签订的合同，其内容将直接影响双方的权利和义务。
- 如果合同中明确约定了房屋的产权归属、使用权、转让权等条款，那么这些条款将作为判断母亲是否可以卖房的重要依据。
合同效力：
- 合同的效力取决于其是否符合法律法规的规定，以及双方是否自愿、平等地签订了合同。
- 如果合同存在违法情形或双方存在欺诈、胁迫等行为，那么合同可能被认定为无效或可撤销。
三、相关法律法规的规定
无产权房屋的交易限制：
- 根据相关法律法规，无产权房屋的交易可能受到严格限制或禁止。
- 即使母亲是房屋的产权人（或名义产权人），如果房屋属于无产权房屋，那么其转让行为也可能因违反法律法规而无效。
女儿的权益保护：
- 如果女儿出资购买了房屋，但并未取得产权证，那么她的权益可能受到法律保护，但具体保护方式需根据合同内容和相关法律法规来判断。
- 女儿可以通过法律途径主张自己的权益，如要求确认房屋产权归属、要求返还出资等。
四、具体建议
审查合同内容：
- 首先，建议审查女儿与母亲或母亲单位之间签订的合同内容，明确双方的权利和义务。
咨询专业意见：
- 由于无产权房屋的交易涉及复杂的法律问题，建议咨询专业律师或房地产法律专家，以获取更准确的法律意见。
考虑法律后果：
- 在决定是否卖房之前，母亲应充分考虑法律后果，包括可能面临的法律责任和风险。
寻求和解或调解：
- 如果女儿与母亲之间存在争议，可以尝试通过和解或调解的方式解决，以避免法律纠纷和不必要的损失。
最后，母亲是否可以卖房子取决于房屋的产权归属、合同的性质以及相关法律法规的规定。在处理这类问题时，建议谨慎行事，并咨询专业律师的意见。如果你有任何进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。