若法院判决要求书面道歉但被执行人未道歉，可依法向法院申请强制执行，通过罚款、拘留等措施督促履行，或由法院直接将判决内容以公告形式公布，费用由被执行人承担。具体分析如下：

1. 申请强制执行
   根据《民事诉讼法》第2五十三条，被执行人未按判决履行义务的，法院可采取以下措施：

   • 罚款、拘留：对拒不履行道歉义务的被执行人，法院可对其处以罚款（个人10万元以下，单位5万元以上100万元以下）或拘留（15日以下）；
     
   • 公告执行：若被执行人仍不履行，法院可将判决内容（如道歉声明）通过媒体或公共平台公布，相关费用由被执行人承担。
     操作建议：向原审法院提交《强制执行申请书》，附判决书、被执行人未履行证明等材料，申请启动执行程序。

2. 追究拒不执行判决罪（极端情况）
   若被执行人通过隐藏、转移财产等方式逃避执行，且情节严重（如导致判决无法执行、申请人遭受重大损失），可能构成《刑法》第313条规定的“拒不执行判决、裁定罪”，最高可处3年有期徒刑。
   注意：此情形需满足“有能力执行而拒不执行”且“情节严重”的构成要件，实践中需严格把握证据标准。

3. 替代性赔偿的补充适用
   若书面道歉因客观原因无法实现（如被执行人下落不明），可与法院沟通，通过经济赔偿替代道歉义务。但需注意：

   • 赔偿金额需与道歉的“精神抚慰”功能相当，通常需通过司法评估确定；
     
   • 需以判决书明确允许替代为前提，否则可能引发执行争议。

风险提示：若申请人自行采取威胁、骚扰等非法律手段迫使对方道歉，可能涉嫌侵权或违法，需严格通过法律程序主张权利。

后续建议：若需进一步推动执行，可整理被执行人财产线索、未履行证据等材料，委托律师向法院申请调查令或采取其他执行措施。如有具体案件细节，可直接向我咨询执行方案。