结论：员工辞职后公司不开离职证明，公司可能会面临劳动行政部门的责令改正以及给劳动者造成损害时的赔偿责任。
详细分析：
劳动行政部门的责令改正：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
- 如果公司未按照此规定向员工出具离职证明，劳动行政部门有权责令公司改正。这意味着公司可能会受到官方的警告或要求，必须尽快为员工补办离职证明。
给劳动者造成损害的赔偿责任：
- 同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，如果用人单位违反规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，且由此给劳动者造成损害的，用人单位应当承担赔偿责任。
- 这里的“损害”可能包括但不限于：劳动者因无法提供离职证明而错失新的工作机会、因无法办理社保转移而遭受的社保待遇损失等。赔偿的具体金额将根据劳动者的实际损失来确定，可能包括直接经济损失和间接经济损失。
实际案例与法律建议：
- 在实际操作中，如果员工遇到公司不开离职证明的情况，首先可以尝试与公司协商解决，要求公司尽快出具离职证明。
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动行政部门投诉，请求劳动行政部门介入调查并责令公司改正。
- 如果公司拒不改正且给员工造成了实际损害，员工还可以考虑通过法律途径提起诉讼，要求公司承担赔偿责任。在此过程中，员工需要保留好相关证据，如与公司的沟通记录、因无法提供离职证明而错失的工作机会证明等，以便在诉讼中证明自己的损失。
后续行动建议：
- 作为员工，如果遇到公司不开离职证明的情况，不要慌张，先尝试与公司友好协商。
- 如果协商不成，及时向劳动行政部门投诉或寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。
- 作为公司，应当严格遵守法律法规，及时为员工出具离职证明，避免不必要的法律纠纷和赔偿责任。
如有任何进一步的问题或需要具体的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。