结论：公司因未中标要求员工签终止合同而员工不签的情况下，公司不能单方面强制终止合同，否则可能构成违法解除，需承担相应法律责任。以下从不同角度详细分析：
一、公司单方面终止合同的合法性分析
合同约定：
- 首先需查看劳动合同中是否有关于公司未中标时可以终止合同的明确约定。若合同中有此类条款，且该条款不违反法律法规的强制性规定，公司可依据合同约定与员工协商终止合同。但即便如此，员工仍有权选择是否同意终止。
- 若合同无约定：公司无权仅因未中标而单方面要求终止合同，这违反了劳动合同的稳定性和双方的平等自愿原则。
法律规定：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同需符合法定情形，如员工严重违反公司规章制度、不能胜任工作等，且需提前通知或支付经济补偿。
- 公司未中标并不属于法定解除劳动合同的情形，因此公司不能以此为由单方面终止合同。
二、员工不签终止合同的后果及公司应对策略
员工不签的后果：
- 若员工拒绝签订终止合同协议，公司不能单方面强制终止，否则可能构成违法解除劳动合同。
- 违法解除劳动合同的，公司需支付员工经济赔偿金，赔偿标准为经济补偿金的两倍。经济补偿金按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准计算。
公司应对策略：
- 协商：公司应首先与员工进行协商，寻求双方都能接受的解决方案，如调整工作岗位、降低薪资等。
- 合法解除：若协商无果，且公司确实需要解除劳动合同，应依据《劳动合同法》的规定，寻找合法解除的理由，如员工严重违反公司规章制度等，并按照法定程序进行解除。
- 支付经济补偿：若公司因经营困难等原因需要裁员，应提前向工会或全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告，并按照法定标准支付经济补偿。
三、实际操作中的建议
- 保留证据：公司在与员工沟通终止合同的过程中，应保留好相关证据，如书面通知、协商记录等，以备不时之需。
- 寻求法律帮助：若公司对如何处理此类情况存在疑问，建议及时咨询专业律师，以确保公司的行为合法合规。
- 关注员工情绪：在处理此类纠纷时，公司应关注员工的情绪变化，避免激化矛盾，尽量通过友好协商的方式解决问题。
总结与启示：公司因未中标要求员工签终止合同而员工不签的情况下，公司应谨慎处理，避免单方面强制终止合同。相反，公司应积极与员工协商，寻求合法合规的解决方案。若您在此类问题上还有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。