公司不可以随意直接开除正式员工，是否合法开除取决于具体情形与程序。以下从不同角度为你详细分析：

一、公司合法开除员工的情形

1. 劳动者存在过错
   • 试用期内不符合录用条件：公司需明确规定录用条件，并能提供如考核记录、工作表现评估等证据证明员工在试用期内未达标。例如，公司招聘程序员时明确要求掌握特定编程语言，员工在试用期内经考核无法使用该语言完成基本编程任务，公司可据此开除。
   • 严重违反规章制度：规章制度必须依法制定、公示或告知员工。例如，多次无故旷工、严重违反保密制度等，且公司有证据证明员工知晓并违反了这些规定。若公司规章制度规定连续旷工3天属于严重违反规章制度，员工连续旷工3天，公司可开除。
   • 严重失职或营私舞弊造成重大损害：公司需界定“重大损害”标准，并提供证据证明员工的失职、营私舞弊行为及其造成的实际损失。比如，员工因疏忽导致公司重要合同丢失，给公司造成数百万元的经济损失，公司可开除该员工。
   • 与其他单位建立劳动关系影响本职工作：若员工在外兼职影响本职工作，且经公司提出后拒不改正，公司可依法开除。例如，员工在本职工作时间内为其他公司工作，导致本职工作任务无法按时完成，经公司警告后仍不改正，公司可开除。
   • 以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同：如员工提供虚假学历等重要信息，导致劳动合同无效，公司可开除。若员工应聘时提供虚假的高学历证书，公司发现后可开除。
   • 被依法追究刑事责任：指被人民法院判处刑罚，包括主刑和附加刑。例如，员工因犯罪被判处有期徒刑，公司可开除。
2. 劳动者无过错但无法胜任工作：经过培训或调整岗位仍不能胜任，且公司已提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。比如，员工从事销售工作，业绩一直不达标，公司安排其参加销售技巧培训后仍无法提高业绩，又调整其到其他岗位仍不能胜任，公司提前三十日书面通知员工后可开除。
3. 经济性裁员：公司因经营困难等法定情形，按照法定程序进行裁员。例如，公司因市场环境变化，订单大幅减少，生产经营发生严重困难，需要裁减人员，可按照法定程序进行经济性裁员。

二、公司合法开除员工的程序

1. 通知工会：用人单位单方解除劳动合同前，应事先将理由通知工会，并研究工会的意见，将处理结果书面通知工会。
2. 书面通知员工：开除决定必须以书面形式送达员工，明确开除原因、依据及解除劳动合同的具体日期。

三、公司违法开除员工的后果

如果公司没有法定理由或违反法定程序直接开除员工，属于违法解除劳动合同。在此情况下，员工完全有权通过法律途径维护自己的权益，并可能获得相应的补偿或赔偿。

• 继续履行劳动合同：恢复劳动关系，补发违法解除期间的工资。
• 支付赔偿金：按经济补偿标准的二倍支付。具体计算方式为，根据员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。例如，员工在公司工作3年6个月，月工资为5000元，公司违法开除员工，应支付的赔偿金为：\(4\times5000\times2 = 40000\)元。

四、员工的维权途径

若员工认为公司开除自己是不合法的，可通过以下途径维权：

1. 与公司协商：首先尝试与公司沟通，寻求和解方案。
2. 申请调解：向本单位劳动争议调解委员会申请调解。
3. 申请仲裁：若调解不成或不愿调解，可向劳动争议仲裁委员会提起仲裁。
4. 提起诉讼：对仲裁裁决不服的，可在法定期限内向人民法院提起诉讼。

如果你遇到了公司开除相关的问题，或者还有其他劳动工伤方面的疑问，都可以直接向我咨询。