结论：在配偶出轨生子后原配死亡的情况下，家属一般无权直接提起公诉，因为此类情况主要涉及民事纠纷，而非刑事公诉范畴。但若出轨行为构成重婚罪等刑事犯罪，且符合特定条件，则可能涉及刑事公诉，不过这通常不由家属直接提起，而是由检察机关进行。

分析说明：

1. 民事纠纷角度：

   • 配偶出轨生子，主要涉及的是婚姻家庭内部的道德和民事纠纷，如离婚、财产分割、子女抚养权等。
   • 在原配死亡后，这些民事纠纷可能由原配的家属（如子女、父母等）作为继承人或相关权益人继续处理，但他们无权直接提起公诉，因为公诉是刑事诉讼的一种，与民事纠纷性质不同。

2. 刑事犯罪角度：

   • 如果配偶的出轨行为构成了刑事犯罪，如重婚罪（有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的），则可能涉及刑事公诉。
   • 重婚罪的认定需要满足一定的条件，即有配偶者与他人以夫妻名义共同生活，或者明知他人有配偶而与之结婚。仅仅出轨生子，并不一定构成重婚罪，除非同时满足上述条件。
   • 即使构成重婚罪，公诉也是由检察机关进行，而不是由家属直接提起。家属可以作为被害人或其近亲属，向公安机关报案，由公安机关进行侦查，检察机关审查起诉。

特殊情况与建议：

• 在某些特殊情况下，如果出轨行为同时涉及了其他刑事犯罪，如虐待、遗弃等，且这些犯罪行为与原配的死亡有直接关联，那么家属可能作为被害人或其近亲属，在公安机关立案侦查后，通过检察机关的公诉程序来追究犯罪嫌疑人的刑事责任。
• 对于家属来说，如果发现配偶的出轨行为可能构成刑事犯罪，或者对原配的死亡有嫌疑，应立即向公安机关报案，并配合公安机关的调查工作。同时，也可以咨询专业律师，了解自己的权益和可能的法律途径。

后续行动建议：

• 家属应收集相关证据，如出轨的证据、原配死亡的医学证明等，以便在需要时提供给公安机关或检察机关。
• 如果涉及民事纠纷，如离婚财产分割、子女抚养权等，家属可以咨询专业律师，了解自己的权益和可能的法律途径，并考虑通过法律程序来解决纠纷。

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