公司是否可以在员工被判刑罚且一直申诉期间开除该员工，需分情况讨论：
若员工被判刑罚且该刑罚为实刑（即需要实际服刑）：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项的规定，员工被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。这里的“被依法追究刑事责任”通常指的是员工被法院判处刑罚，且刑罚已经生效（包括判决后未上诉或上诉后维持原判等情况）。
- 如果员工被判实刑且刑罚已经生效，即使员工提出申诉，也不影响公司依据法律规定解除劳动合同。因为申诉是员工的权利，但申诉期间原判决通常仍然有效（除非法院决定暂缓执行或改判）。
若员工被判刑罚但刑罚为缓刑或免予刑事处罚：
- 对于缓刑，虽然员工不需要实际服刑，但仍然属于被追究刑事责任的范畴。然而，是否解除劳动合同还需考虑公司的规章制度以及劳动合同中的相关约定。如果公司规章制度或劳动合同中明确规定员工被判缓刑可以解除劳动合同，则公司可以据此解除；如果没有明确规定，则需要谨慎处理，避免违法解除。
- 对于免予刑事处罚，员工虽然被法院认定有罪，但并未受到刑罚处罚。这种情况下，公司通常不能直接依据“被依法追究刑事责任”这一条款解除劳动合同，除非公司规章制度或劳动合同中有其他相关规定。
申诉期间对解除劳动合同的影响：
- 申诉是员工的法定权利，申诉期间原判决通常仍然有效（除非法院决定暂缓执行或改判）。因此，如果员工被判实刑且刑罚已经生效，申诉不影响公司解除劳动合同的决定。
- 但如果申诉导致原判决被撤销或改判（如无罪或减轻刑罚），且该改变对劳动合同的履行产生重大影响（如员工不再符合被追究刑事责任的条件），则公司可能需要重新评估解除劳动合同的决定，并可能面临违法解除的风险。
建议：
- 公司在决定解除劳动合同前，应仔细审查员工的刑罚情况（包括刑罚类型、是否生效等）以及公司的规章制度和劳动合同中的相关约定。
- 如果员工被判实刑且刑罚已经生效，公司可以依法解除劳动合同；如果刑罚为缓刑或免予刑事处罚，则需要谨慎处理，并考虑咨询专业律师的意见。
- 在申诉期间，公司应密切关注申诉的进展和结果，以便及时调整解除劳动合同的决定（如果需要）。
如有进一步疑问或需要具体法律建议，请直接向我咨询。