核心结论：针对孩子双方互殴且您家孩子造成对方皮肤发红的情况，建议分以下步骤处理：

1. 立即确认伤情并采取补救措施

   • 第一时间检查对方孩子的受伤部位（如皮肤发红是否伴随肿胀、破皮等），若仅为表皮轻微发红，可先用冰袋冷敷缓解；若出现破皮、淤血或孩子主诉疼痛加剧，需立即送医检查并保留医疗记录（如病历、缴费单据等）。
     
   • 主动联系对方家长，如实说明情况并表达歉意，避免矛盾升级。若对方提出合理赔偿要求（如医疗费），可协商分担；若对方情绪激动或要求过高，可暂缓沟通，待双方冷静后处理。

2. 分析事件责任与性质

   • 法律层面：根据《民法典》第1188条，无民事行为能力人（8周岁以下）或限制民事行为能力人（8-18周岁）造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。若您家孩子已满8周岁，需根据其年龄、认知能力判断是否存在故意或过失（如是否先动手、是否使用工具等）；若未满8周岁，则直接由您作为监护人承担责任。
     
   • 学校/机构责任：若事件发生在学校、幼儿园等教育机构，根据《民法典》第1199-1201条，机构未尽到教育、管理职责的（如未及时制止冲突、未通知家长等），需承担相应责任。可要求机构提供监控录像、在场老师证言等证据。

3. 协商或通过法律途径解决

   • 协商优先：若对方伤情轻微且双方无重大分歧，可签订书面和解协议，明确赔偿金额（如医疗费、交通费等实际支出）及方式，避免后续纠纷。
     
   • 法律途径：若协商不成，对方可能通过诉讼主张赔偿（包括医疗费、护理费、精神损害抚慰金等）。此时需准备证据（如现场照片、医疗记录、证人证言等）应诉，法院会根据双方过错程度划分责任比例（如您家孩子承担70%、对方承担30%）。

4. 预防与教育

   • 对孩子进行法治教育，明确打架的法律后果（如可能面临赔偿、行政处罚等）；
     
   • 与学校沟通，加强校园安全监管，避免类似事件再次发生。

提示：若对方伤情较重（如骨折、脑震荡等）或涉及多人围殴、使用凶器等情节，可能涉嫌《治安管理处罚法》第43条“殴打他人”或《刑法》第234条“故意伤害罪”（需经伤情鉴定），此时需立即报警并配合调查。如有疑问，可进一步向我描述事件细节（如孩子年龄、冲突原因、伤情程度等），我会为您具体分析。