结论：在符合法定条件且交易性质允许的情况下，您可以要求对方就“买赔客户的钱”开具发票；但若该款项性质不符合开票要求或对方无开票义务，则无法强制要求。以下从不同角度展开分析：
1. 从发票开具的法定条件看
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。
关键点：若“买赔客户的钱”属于因经营业务（如销售商品瑕疵赔偿、服务违约赔偿等）产生的款项，且对方作为收款方收取了该款项，则您作为付款方有权要求对方开具发票。例如：您因购买商品质量问题向客户赔偿，客户作为销售方收取赔偿款后，应向您开具发票。
2. 从款项性质看
若“买赔客户的钱”属于非经营性款项（如赠与、罚款、违约金等非因销售商品或提供服务产生的款项），则可能不符合发票开具范围。
例外情形：根据《企业所得税税前扣除凭证管理办法》第九条，企业发生支出但未取得发票的，若支出属于“非增值税应税项目”（如赔偿款、罚款等），可凭合同、付款凭证等内部证据税前扣除，但此时对方无开具发票的法定义务。例如：您因合同违约向客户支付违约金，客户收取违约金后无需开具发票，但您可凭合同、转账记录等证明支出真实性。
3. 从对方身份看
若对方是个人（非个体工商户），且“买赔客户的钱”属于其偶然所得（如个人因提供劳务外的其他原因获得赔偿），则个人无开具发票的义务，但您可要求其到税务机关代开发票（需缴纳个人所得税）。
操作建议：若对方拒绝开票，您可向当地税务机关举报（依据《发票管理办法》第三十五条），由税务机关责令其改正；若因此导致您无法税前扣除，可要求对方赔偿损失（需证明损失与未开票的因果关系）。
4. 从合同约定看
若您与客户签订的合同中明确约定“赔偿款需开具发票”，则对方有合同义务开票；若未约定，则需结合上述法定条件判断。
风险提示：即使合同未约定，您仍可基于法定权利要求开票，但若对方拒绝，您需通过法律途径（如诉讼）主张权利，成本较高。
总结建议：
如有进一步细节（如款项性质、合同内容等），可随时向我咨询，我会结合具体情形为您分析。