结论：一般情况下，客户不需要就收到的赔偿款向支付方开具发票，但具体需结合赔偿款的性质、税法规定及合同约定综合判断。以下分情况详细说明：

1. 赔偿款性质为“补偿性损失”
   若赔偿款是因合同违约、侵权行为（如产品质量问题导致客户损失）等产生的补偿性支出，本质是弥补客户已发生的实际损失（如维修费、医疗费等），不属于增值税应税行为。根据《增值税暂行条例》及实施细则，此类赔偿款无需开具发票，支付方凭合同、赔偿协议、付款凭证等作为税前扣除依据。

2. 赔偿款性质为“违约金或惩罚性赔偿”
   若赔偿款是因合同未履行或延迟履行而支付的违约金（如未按时交货的罚金），或具有惩罚性质的赔偿（如合同约定的双倍返还定金），需区分情况：

   • 若违约金与商品或服务销售直接相关（如销售方违约导致买方损失），可能被认定为价外费用，需并入销售额缴纳增值税，此时支付方可能要求客户开具发票；
     
   • 若违约金独立于商品或服务（如单纯因合同解除而支付），则不属于应税行为，无需开票。
     建议：双方应在合同中明确违约金性质，避免税务争议。

3. 合同或协议中有特殊约定
   若双方在合同中明确约定赔偿款需开具发票（如客户要求将赔偿款作为其成本入账，需发票抵扣），则需按约定执行。但需注意，此类约定需符合税法规定，否则可能被税务机关调整。

4. 税务合规建议

   • 支付方：保留赔偿协议、付款凭证、损失证明等材料，作为税前扣除或进项抵扣的依据；
     
   • 收款方：若赔偿款涉及增值税应税行为（如销售方违约导致买方退货并赔偿），需按税法规定开具红字发票或普通发票；
     
   • 争议处理：若对赔偿款性质或开票义务有争议，可结合具体交易背景、合同条款及税务机关解释综合判断，必要时可申请税务机关裁定。

总结：赔偿款是否需要开票，核心取决于其性质是否属于增值税应税行为。建议双方在合同中明确赔偿条款，并在支付时留存完整证据链，以降低税务风险。如有具体案例或合同条款需要分析，可进一步向我咨询。